Специальная теория относительности > Замедление времени и сокращение размеров тел в движущихся системах преобразование Лоренца > Задача 14.2.17

Условие

$14.2.17.$ По направлению к Земле со скоростью $v$ движется космический корабль. Когда измеренное с Земли расстояние до корабля было $l$, с Земли запустили ракету. Через какое время после запуска встретится ракета с кораблем по наблюдениям с Земли и с корабля, если ракета двигалась навстречу кораблю: а) со скоростью $u$? б) с ускорением $a$?

Решение

а) Относительно системы отсчета Земли время, за которое корабль с ракетой встретятся будет рассчитываться:
$$\tau_1 = l / (u + v),$$
Воспользуемся преобразованием Лоренца для времени при переходе в систему отсчета корабля:
$$\tau_2 = \frac{\tau_1 - Vx / c^2}{\sqrt{1 - V^2 / c^2}},$$
Здесь $V = -v$, $x = u\tau_1$, при подстановке получим:$$\tau_2 = \frac{\tau_1 + vu\tau_1 / c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} = \tau_1 \left( \frac{1 + vu / c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \right).$$

б) Относительно системы отсчета Земли координата корабля и ракеты будут вычисляться:
$$x_р(t) = at^2 / 2,$$
$$x_к(t) = l - vt,$$
Приравняв эти функции получим квадратное уравнение, из которого вычислим время встречи (отбросив отрицательный корень):
$$l - v\tau_1 = a\tau_1^2 / 2,$$
$$\tau_1^2 + \frac{2v}{a}\tau_1 - \frac{2l}{a} = 0,$$
$$\tau_1 = -\frac{v}{a} \pm \sqrt{\left(\frac{v}{a}\right)^2 + \frac{2l}{a}},$$
$$\tau_1 = \frac{v}{a} \left( \sqrt{1 + \frac{2al}{v^2}} - 1 \right).$$
Воспользуемся преобразованием Лоренца для времени при переходе в систему отсчета корабля:
$$\tau_2 = \frac{\tau_1 - Vx / c^2}{\sqrt{1 - V^2 / c^2}},$$
Здесь $V = -v$, $x = a\tau_1^2 / 2$, при подстановке получим:
$$\tau_2 = \frac{\tau_1 + \frac{va\tau_1^2}{2c^2}}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} = \tau_1 \left( 1 + \frac{va\tau_1}{2c^2} \right) / \sqrt{1 - v^2 / c^2}.$$

Комментарий: В ответах опечатка для времени $\tau_2$ в пункте а) в знаменателе перепутали скорость $v$ и $u$.

Ответ

а) $\tau_1 = l / (u + v)$, $\tau_2 = \tau_1 \left( 1 + vu / c^2 \right) / \sqrt{1 - v^2 / c^2}$;
б) $\tau_1 = \frac{v}{a} \left( \sqrt{1 + \frac{2al}{v^2}} - 1 \right)$, $\tau_2 = \tau_1 \left( 1 + \frac{va\tau_1}{2c^2} \right) / \sqrt{1 - v^2 / c^2}$.