Специальная теория относительности > Закон сохранения массы и импульса > Задача 14.5.23

Условие

$14.5.23.$ Фотон массы $m$ сталкивается с неподвижным электроном. Определите массу фотона и электрона после столкновения, при котором фотон изменил направление движения на угол $\alpha$.

Решение

В этой задаче рассматривается так называемый эффектр Комптона: фотон рассеивается на свободном электроне, отдает ему часть энергии, и его собственная частота уменьшается. Эта тема очень нравится авторам различных олимпиад. Напримпер, похожая задача была на белорусском отборе на $IPhO$.

Сразу обозначим: безмассовость фотона и постоянство массы электрона никто не отменял. Савченко использует массу как меру $\textbf{полной энергии }$этих частиц. Так, $m=\frac{h\nu}{c^2}$, где $\nu$ - частота фотона. Либо, если использовать массу в $эВ$, $m=h\nu=E_{photon}$, $\ m_e=E_{electron}$ - так можно заметно сократить запись.

Что ж, будем пользоваться такой записью, хотя некоторые формулы будут выглядеть чуть непривычно.

Тогда ЗСЭ:
$$
m_e+m=m'_e+m_{\gamma}\tag{1}
$$
Сразу получим "массу" электрона после столкновения:
$$
m'_e=m_e+m-m_{\gamma}\tag{2}
$$

Релятивистский инвариант для электрона:
$$
m'^{2}_e=p^2_e+m^{2}_e\tag{3}
$$

Пусть ось $Оx$ сонаправвлена с начальным направлением фотона, $Oy$ - перпендикулярна. Тогда угол межу направлением движения электрона после столкновения и $Оx$ равен $\varphi$. ЗСИ по осям:
$$
Ox: \quad \frac{m}{c}=p_e\cos\varphi+\frac{m_{\gamma}}{c}\cos\alpha\tag{4}
$$
$$
Oy: \quad 0=p_e\sin\varphi+\frac{m_{\gamma}}{c}\sin\alpha\tag{5}
$$
Нам не очень интересно, куда полетит электрон (а угол, под которым наблюдается фотон, практически важен), поэтому исключим $\varphi$. Для этого сначала подставим $(3)$ в $(4)$ и $(5)$, домножим на $c$ и возведем в квадрат:
$$
(m-m_{\gamma}\cos\alpha)^2=(m'^{2}_e-m^{2}_e)cos^2\varphi\tag{6}
$$
$$
m_{\gamma}^2\sin^2\alpha=(m'^{2}_e-m^{2}_e)sin^2\varphi\tag{7}
$$
Используя основное тригонометрическое тождество:
$$
(m-m_{\gamma}\cos\alpha)^2=(m'^{2}_e-m^{2}_e)-m_{\gamma}^2\sin^2\alpha \tag{8}
$$
Упрощая,
$$
m^2-2mm_{\gamma}\cos\alpha+m_{\gamma}^2=m'^{2}_e-m^{2}_e \tag{9}
$$
$(2)\to(9)$
$$
mm_{\gamma}\cos\alpha=m_em_{\gamma}+mm_{\gamma}-mm_e \tag{10}
$$

$$
m_{\gamma}=\frac{m}{1+\frac{m}{m_e}(1-\cos\alpha)}<m\tag{11}
$$

$No:$ Если вернуться к привычной энергии вместо массы, получим упомянутое в начале уменьшение частоты и получить стандартную формулу для эффета Комптона:
$$
\frac{1}{\nu'}-\frac{1}{\nu}=\frac{h}{m_e c^2}(1-\cos\alpha)
$$
или
$$
\Delta\lambda=\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_e c}(1-\cos\alpha)
$$

Ответ

$$
m_{\gamma}=\frac{m}{1+\frac{m}{m_e}(1-\cos\alpha)}
$$
$$
m'_e=m_e+m-m_{\gamma}
$$