Специальная теория относительности > Преобразование электрического и магнитного полей > Задача 14.3.4

Условие

$14.3.4.$ а. В прямом неподвижном проводнике скорость электронов равна
$−\beta c$ , а скорость протонов рана нулю. Плотности объемного заряда электронов
и ионов равны $\pm \rho$. Как изменится плотность электронов и ионов при движении
проводника со скоростью $\beta c$?
б. Во сколько раз изменится индукция магнитного поля в движущемся проводнике?
в. Как связаны между собой индукция магнитного поля в движущемся проводнике $B$ с электрической напряженностью $E$ ?

Решение

а) Для решения этого пункта вспомним 2 вещи: Закон сохранения заряда и Лоренцево сокращение длины. И если первое говорит само за себя(заряд постоянен), то второе:
$$l=\frac{l_0}{\gamma}$$
И так проводник покоился и начал двигаться. Это идентично переходу в систему где проводник движется. Для начала разбирёмся с ионами(Пусть после начала движения всё будет со штрихом):
$$\rho_i'=\frac{q_i}{l}=\frac{q\gamma}{l_0}=\rho\gamma$$
Таким образом плотность ионов выросла.
А что же с электронами? Они изначально находились в движении, теперь же покоятся. То есть расстояние между ними увеличилось(для электронов это система выглядит так же, как для ионов выглядело изначально). Тогда:
$$\rho_e'=-\frac{\rho}{\gamma}$$
б) Из преобразований Лоренца(вся индукция нормальна вектору скорости), учитывая, что количество движущийся зарядов не изменилось:
$$B'=\gamma(B+\frac{1}{c}[\vec{v},\vec{E}])$$
Но изначально суммарная плотность заряда проводника 0 и значит поле вне его тоже 0. То есть:
$$B'=\gamma B$$
в) Тут уже вспомни преобразование для вектора $E$:
$$E'=\gamma(E-\frac{1}{c}[\vec{v};\vec{B}])$$
$$v=\beta c$$
$$E'=\gamma B\cdot \beta = \beta B'$$

Можно так же решить этот пункт чуть более "физично". Найти разность плотностей зарядов и, как следствие, точное значение электрического и магнитного полей. Этот метод кратко описан в ответах Савченко

Ответ