Колебания и волны > Распространение волн > Задача 3.7.20

Условие

$3.7.20.$ Почему звуковой сигнал, распространяющийся по ветру, слышен значительно лучше, чем против ветра? Скорость ветра заметно уменьшается при приближении к поверхности земли.

Решение

При решении задачи я буду принебрегать зависимостью скорости звука $c$ от температуры и давления. Ось $x$ направим вдоль земли по направлению ветру, а ось $z$ в атмосферу. Поскольку скорость ветра $V(z)$ заметно уменьшается при приближении к поверхности земли, то градиент скорости ветра $\frac{d V}{dz}\gt 0$. Скорость ветра зависит только от координаты $z$.

Источник звука находится в точке (0,0). Атмосферу можно представить в виде бесконечного числа тонких горизонтальных слоев. Чтобы волновой фронт (гребень волны) при переходе из слоя в слой оставался единым целым и не разрывался, скорость движения точки пересечения фронта с горизонтальной плоскостью (горизонтальная фазовая скорость $\upsilon_{x}$) должна быть строго одинаковой на любой высоте:

$$\upsilon_{x}=const$$

Ещё раз: если бы в каком-то слое гребень волны бежал по горизонтали быстрее, а в соседнем — медленнее, то волновой фронт просто разорвался бы. Это наш инвариант.

Геометрически эта скорость складывается из двух величин: скорость точки пересечения звукового фронта с горизонтальным слоем в неподвижной среде и скорости ветра, который увлекает за собой волну в слое воздуха.

Пусть угол между направлением скорости звука и вертикальной осью $z$ равен $\theta$. На рисунке $\textbf{а}$: $BC$ - это фронт волны, $AC$ это расстояниие, которое проходит фронт до горизонтального слоя, точка $B$ это точка пересечения фронта с горизонтальным слоем, $AB$ это расстояние, которое пройдёт точка $B$. Из прямоугольного $\Delta ACB$:

$$\frac{c\cdot dt}{\sin\theta}=dS\Longrightarrow \frac{dS}{dt}=\upsilon^{'}=\frac{c}{\sin\theta}$$

Добавляя скорость движения ветра, получим:

$$\upsilon_{x}=\frac{c}{\sin\theta(z)}+V(z)=C_{0}=const$$

Зададим начальные условия на поверхности земли $z=0$, где скорость ветра $V(0)=0$, а угол выхода луча из источника звука равен $\theta_{0}$:

$$C_{0}=\frac{c}{\sin\theta_{0}}$$

Итоговый инвариант связывает угол луча на любой высоте с начальным углом вылета:

$$\frac{c}{\sin\theta(z)}+V(z)=\frac{c}{\sin\theta_{0}} \tag{1}$$

Точка на гребне волны движется со скоростью, равной векторной сумме скорости звука и скорости ветра. Смотри рисунок $\textbf{б}$. Кинематические уравнения движения этой точки (звукового луча) в проекциях на оси $x$ и $z$ имеют вид:

$$\frac{dx}{dt}=c\sin\theta(z)+V(z)$$
$$\frac{dz}{dt}=c\cos\theta(z)$$

Разделим первое уравнение на второе и получим дифференциальное уравнение траектории луча:

$$\frac{dx}{dz}=\tan\theta(z)+\frac{V(z)}{c\cos\theta(z)} \tag{2}$$

Выразим тригонометрические функции угла $\theta(z)$ из нашего инварианта (1):

$$\sin\theta(z)=\frac{\sin\theta_{0}}{1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0}}$$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}$:

$$\cos\theta(z)=\frac{\sqrt{\left( 1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0} \right)^{2}-\sin^{2}\theta_{0}}}{1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0}}$$

Подставим полученные функции в дифференциальное уравнение траектории луча (2):

$$\frac{dx}{dz}=\frac{\sin\theta_{0}+\frac{V(z)}{c}\left( 1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0} \right)}{\sqrt{\left( 1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0} \right)^{2}-\sin^{2}\theta_{0}}}$$

Интегрируя это выражение по высоте от 0 до $z$, получаем общее уравнение траектории для произвольного профиля ветра $V(z)$:

$$x(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin\theta_{0}+\frac{V(\zeta)}{c}\left( 1-\frac{V(\zeta)}{c}\sin\theta_{0} \right)}{\sqrt{\left( 1-\frac{V(\zeta)}{c}\sin\theta_{0} \right)^{2}-\sin^{2}\theta_{0}}}d\zeta \tag{3}$$

Рассмотрим приземное приближение для слабого линейного ветра:

$$V(z)\ll c, \quad V(z)=\beta z$$

В приземном слое скорость ветра много меньше скорости звука, поэтому отношение $\epsilon=\frac{V(\zeta)}{c}=\frac{\beta\zeta}{c}\ll 1$ является малым параметром. Разложим подынтегральное выражение в ряд Тейлора по $\epsilon$, удерживая только линейные члены. Так как выражения весьма громоздки, я сделаю это отдельно для числителя и отдельно для знаменателя.

Разложение знаменателя (под корнем):

$$(1-\epsilon\sin\theta_{0})^{2}-\sin^{2}\theta_{0}=1-2\epsilon\sin\theta_{0}+\epsilon^{2}\sin^{2}\theta_{0}-\sin^{2}\theta_{0}\approx \cos^{2}\theta_{0}-2\epsilon\sin\theta_{0}$$

Используя приближение $(1-x)^{-1/2}\approx 1+\frac{x}{2}$, запишем:

$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}\theta_{0}-2\epsilon\sin\theta_{0}}}=\frac{1}{\cos\theta_{0}}\left( 1-2\epsilon\frac{\sin\theta_{0}}{\cos^{2}\theta_{0}} \right)^{-1/2}\approx \frac{1}{\cos\theta_{0}}\left( 1+\epsilon\frac{\sin\theta_{0}}{\cos^{2}\theta_{0}} \right)$$

Разложение числителя:

$$\sin\theta_{0}+\epsilon(1-\epsilon\sin\theta_{0})\approx \sin\theta_{0}+\epsilon$$

Тогда подинтегральное выражение:

$$\frac{\sin\theta_{0}+\epsilon}{\cos\theta_{0}}\left( 1+\epsilon\frac{\sin\theta_{0}}{\cos^{2}\theta_{0}} \right)\approx \frac{\sin\theta_{0}}{\cos\theta_{0}}+\frac{\epsilon}{\cos\theta_{0}}+\epsilon\frac{\sin^{2}\theta_{0}}{\cos^{3}\theta_{0}}=\tan\theta_{0}+\frac{\epsilon}{\cos^{3}\theta_{0}}$$

Вернем замену $\epsilon=\frac{\beta\zeta}{c}$ и подставим упрощенное выражение под интеграл (3):

$$x(z)\approx \int_{0}^{z}\left( \tan\theta_{0}+\frac{\beta}{c\cdot\cos^{3}\theta_{0}}\zeta \right)d\zeta$$

Интегрируя, получаем уравнение параболических траекторий звуковых лучей:

$$x(z)\approx z\cdot\tan\theta_{0}+\frac{\beta z^{2}}{2c\cdot\cos^{3}\theta_{0}} \tag{4}$$

Проанализируем полученное уравнение. Поскольку источник находится на земле, физически лучи могут излучаться только в верхнее полупространство, что ограничивает начальный угол пределами $\theta_{0}\in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$.

Диапазон по ветру: $\theta_{0}\in (0;\frac{\pi}{2})$. Оба коэффициента уравнения параболы положительны. Луч выходит вправо-вверх, и с ростом высоты его наклон к горизонту уменьшается, так как $\frac{dx}{dz}$ растет. Волновой фронт опрокидывается вперед, прижимая звуковую энергию к земле. Это зона отличной слышимости.

Диапазон против ветра: $\theta_{0}\in (-\frac{\pi}{2};0)$. Линейный член отрицателен, квадратичный - положителен:

$$x(z)=-z\cdot\left| \tan\theta_{0} \right|+\frac{\beta z^{2}}{2c\cdot\cos^{3}\theta_{0}}$$

Луч сначала идет влево-вверх (против ветра), но квадратичный член неуклонно тянет траекторию вправо. Парабола имеет точку разворота по горизонтали. Достигнув некоторого максимального удаления против ветра, луч разворачивается и уносится ветром в обратную сторону, уходя высоко в атмосферу.

Траектория лучей представлена на рисунке:

На этом задача полностью решена, но очень хочется найти геометрическую границу области акустической тени - места, куда звук не будет доходить от источника звука.

Граница акустической тени представляет собой огибающую линию всего семейства лучей, выпущенных против ветра. Семейство лучей задается уравнением, где $\theta_{0}$ является параметром:

$$f(x,z,\theta_{0})=x-z\cdot\tan\theta_{0}-\frac{\beta z^{2}}{2c\cdot\cos^{3}\theta_{0}}=0$$

Чтобы найти огибающую этого семейства, нужно составить систему уравнений:

$$\begin{cases} f(x,z,\theta_{0})=0 \\ \frac{\partial f}{\partial \theta_{0}}=0 \end{cases}$$

Найдём частную производную:

$$\frac{\partial f}{\partial \theta_{0}}=-\frac{z}{\cos^{2}\theta_{0}}-\frac{3\beta z^{2}\sin\theta_{0}}{2c\cdot\cos^{4}\theta_{0}}=0\Longrightarrow \frac{\sin\theta_{0}}{\cos^{2}\theta_{0}}=-\frac{2c}{3\beta z} \tag{5}$$

Для приземного слоя, формирующего границу тени у земли, высота $z$ мала, а значит $\frac{2c}{3\beta z}\gg 1$. Из уравнения связи (5) следует, что $\sin\theta_{0}\to -1$, то есть границу тени формируют пологие лучи, скользящие вдоль земли $\theta_{0}=-\frac{\pi}{2}+\alpha$, где $\alpha\ll 1$. Для малых углов: $\cos\theta_{0}=\cos(-\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin\alpha\approx \alpha$, а $\sin\theta_{0}=\sin(-\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\cos\alpha\approx -1$.

Подставим их в уравнение связи (5):

$$-\frac{1}{\alpha^{2}}=-\frac{2с}{3\beta z}\Longrightarrow \alpha=\sqrt{\frac{3\beta z}{2c}} \tag{6}$$

Теперь подставим приближения тригонометрических функций через малый угол $\alpha$ в исходное уравнение параболы $f(x,z,\theta_{0})=0$:

$$x\approx z\left( -\frac{1}{\alpha} \right)+\frac{\beta z^{2}}{2c\alpha^{3}}$$

Подставим (6):

$$x\approx -z\cdot \sqrt{\frac{2c}{3\beta z}}+\frac{\beta z^{2}}{2c}\cdot \left( \frac{2c}{3\beta z} \right)^{3/2}=-\sqrt{\frac{2cz}{3\beta}}+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2cz}{3\beta}}=-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2cz}{3\beta}}$$

Итак:

$$x=-\sqrt{\frac{8cz}{27\beta}} \tag{7}$$

Любой наблюдатель, находящийся на расстоянии $x$ против ветра, у которого высота ушей окажется ниже значения $z$, попадет в зону полного отсутствия прямых звуковых лучей и окажется в тишине.

Расчитаем это место для моего роста. Буду считать, что мои уши находятся на высоте $z=1,8\text{ м.}$, скорость звука $c=340\text{ м/c}$, для умеренного ветра $\beta=0,1 \text{ с}^{-1}$. Тогда:

$$x\approx -43 \text{ м.}$$

Напомню, знак минус у нас из-за того, что я нахожусь левее точки начала отсчёта.

Ответ

См. рис., на котором показаны «звуковые лучи», которые ортогональны к волновым поверхностям; в направлении ветра звук идет почти вдоль поверхности Земли, а в противоположном направлении уходит от нее.