Электростатика > Потенциал электрического поля. Проводники в постоянном электрическом поле > Задача 6.3.7

Условие

Сфера радиуса $R$ имеет заряд $Q$. Чему равен потенциал поля в центре сферы? Зависит ли потенциал в центре сферы от распределения зарядов на сфере? Зависит ли потенциал поля на поверхности сферы от распределения заряда по сфере?

Решение

1. Потенциал в центре сферы

Пусть на поверхности сферы радиуса $R$ произвольным образом распределен суммарный заряд $Q$. Согласно принципу суперпозиции электростатических полей, потенциал в центре сферы $V_c$ равен интегралу от потенциалов, создаваемых каждым элементарным зарядом $dq$:

$$V_c = \int \frac{dq}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

Поскольку все элементарные заряды находятся строго на поверхности сферы, расстояние от каждого из них до центра абсолютно одинаково и равно радиусу сферы ($r = R$). Вынося постоянные множители за знак интеграла, получаем:

$$V_c = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} \int dq = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$$

2. Зависимость потенциала в центре от распределения заряда

Как следует из математического вывода, итоговый потенциал в центре сферы определяется исключительно ее геометрическим радиусом $R$ и полным зарядом $Q$. Так как потенциал является скалярной величиной, любое взаимное перераспределение зарядов на фиксированном расстоянии $R$ от центра никак не влияет на их суммарный вклад.

Ответ: Потенциал в центре сферы не зависит от характера распределения заряда по её поверхности.

3. Зависимость потенциала на поверхности от распределения заряда

В данном случае физическое поведение системы принципиально зависит от материала, из которого изготовлена сфера:

1. Сфера — диэлектрик: Если заряд распределен неравномерно, то на разных участках поверхности локальная поверхностная плотность заряда будет отличаться. В силу принципа суперпозиции, потенциал на самой поверхности будет меняться от точки к точке, принимая максимальные значения в областях с наибольшей концентрацией зарядов.
2. Сфера — проводник: В проводящей сфере носители заряда свободны и могут перемещаться под действием кулоновских сил. В условиях электростатики заряды мгновенно перераспределятся так, чтобы внутреннее поле и касательная составляющая поля на поверхности обратились в ноль. Поверхность проводника автоматически станет эквипотенциальной.

Ответ: Потенциал на поверхности сферы в общем случае **зависит** от распределения заряда (если сфера является диэлектриком). Для уединенной проводящей сферы распределение заряда всегда будет строго равномерным, а потенциал в любой точке поверхности составит:

$$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$$