Электростатика > Электрическое давление. Энергия электрического поля > Задача 6.5.5

Условие

$6.5.5.$ Определите силу, действующую на единицу площади поверхности равномерно заряженной сферы радиусом $R$, если её заряд равен $Q$.

Решение

Воспользуемся теоремой Гаусса для нахождения напряжённости за пределами сферы.

$E_{+}* 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_{0}} \Rightarrow E_{+} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^2} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$

В виду симметрии поле внутри сферы равно нулю. $E_{-} = 0$

Вырежем на поверхности нашей сферы диск, тогда его напряжёность будет $E_{диск}^+ = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ и $E_{диск}^- = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$

Получаем систему уравнений.

$$\begin{cases}
E_{+}& = E_{ост} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \\
E_{-}& = E_{ост} + (-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}})
\end{cases}$$

, где $E_{ост} $ есть напряжённость создаваемая другими зарядами.

Если решить систему уравнение придём к тому, что

\[
\boxed{E_{ост} = \frac{E_{+} + E_{-}}{2} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}}
\]

Сила действующая на диск с зарядом $dq$ со стороны других зарядов есть:

$dF = dq*E_{ост} $ , а также $dq = \sigma*dS$

И наконец-то:

$P = \frac{dF}{dS} = \sigma*dS * \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}*\frac{1}{dS} = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_{0}}$

Подставляем $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$

$P = \frac{Q^2}{32\pi^2R^4 \varepsilon_{0}}$

Ответ

\[
\boxed{P = \frac{Q^2}{32\pi^2 \varepsilon_{0}R^4}}
\]