Электростатика > Электрическое давление. Энергия электрического поля > Задача 6.5.7

Условие

$6.5.7.$ Какой заряд можно разместить на единице длины длинной цилиндрической оболочки радиуса $R$, если при накачивании ее газом она выдерживает давление $P$ ?

Решение

Фактически нам надо найти, при каком заряде давление электрического поля сравняется с $P$.

Поверхностная плотность заряда

$$
\sigma=\frac{\rho}{2\pi R}\tag{1}
$$

где $\rho=\frac{dq}{dl}$ - искомая величина.

Вблизи поверхности цилиндра поле

$$
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\tag{2}
$$

Это элементарно выводится из теоремы Гаусса

В предыдущей задаче доказана формула для давления поля (оно, кстати, равно плотности энергии поля)

$$
P=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}\tag{3}
$$
$(1)\to(2)\to(3):$
$$
P=\frac{\rho^2}{8\varepsilon_0 \pi^2R^2}\tag{3}
$$
$$
\rho=2\pi R\sqrt{2\varepsilon_0 P}
$$

Ответ

$$
\boxed{\rho=2\pi R\sqrt{2\varepsilon_0 P}}
$$