Движение заряженных частиц в электрическом поле > Движение в переменном электрическом поле > Задача 7.3.6

Условие

$7.3.6.$ Длина пластин осциллографа $l$, ускоряющее напряжение $V$ . При какой частоте электрического сигнала чувствительность осциллографа уменьшится?

Решение

Эта задача является обобщением задачи $7.3.4$ на случай переменного напряжения на отклоняющих (управляющих пластинах).

Начнем с вычисления скорости поперечной $v_y$, приобретаемой электроном за все время движения $\tau$ между отклоняющими пластинами.

Из второго закона Ньютона на поперечное направление:

$$
v_y=\int_0^\tau\frac{F(t)}{m}dt,\tag{1}
$$

где $F_0(t)$ есть сила поля пластин, зависящая от времени $t$, $m$ есть масса электрона.

Напряжение на пластинах считаем гармоническим. Оно задается в общем для произвольного электрона с началом отсчета времени $t=0$ в момент его попадания в область между пластинами так:

$$
U(t)=U_0\sin\left(\omega t+\varphi\right),\tag{2}
$$

где $U_0$ есть амплитуда напряжения на пластинах, $\omega$ есть циклическая частота напряжения, $\varphi$ есть начальная фаза напряжения для произвольно выбранного электрона, попадающего в область между пластинами.

С учетом $F=Ee$ (где $E$ есть напряженность поля между пластинами, $e$ есть заряд электрона) и $E=U/d$ (где $d$ есть расстояние между пластинами) можем получить после подстановки $(2)$ в $(1)$ и замены переменной интегрирования следующее

$$
v_y=\frac{eU_0}{md\omega}\int_0^\tau\sin(\omega t+\varphi)\, d(\omega t+\varphi).
$$

После интегрирования:

$$
v_y=\frac{eU_0}{md\omega}\big[\cos\varphi-\cos\left(\omega \tau+\varphi\right)\big].\tag{3}
$$

По формуле суммы тригонометрических функций

$$
\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2}
$$

перепишем $(3)$ в теминах синуса

$$
v_y=\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}+\varphi\right)\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)
$$

(позже объясним этот переход).

Далее, не усложняя задачу, рассмотрим ситуацию $L\gg l$ (где $L$ есть расстояние от экрана до точки вылета электрона после поперечного поля).

По результатам решения задачи $7.3.4$ в условиях нашей модели чувствительность $S$ равна

$$
S=\frac{y}{U_\text{отк}},\tag{4}
$$

где $y\approx v_y\frac{L}{v}$ (тут $v$ есть продольная скорость электрона) есть смещение электрона, $U_\text{отк}$ есть напряжение, вызывающее это смещение.

Отклоняющим напряжением $U_\text{отк}$ посчитаем значение напряжения $U(\tau/2)$ между пластинами в момент, когда электрон прошел половину продольного расстояния между пластинами:

$$
U_\text{отк}=U_0\sin\left(\omega\frac{\tau}{2}+\varphi\right).
$$

Подставляем найденное значение для $v_y$ в $(4)$ и с учетом сказанного про $U_\text{отк}$ и $eV=mv^2/2$ можем получить в такой форме

$$
\boxed{S=\frac{Ll}{2Vd}\frac{\sin\frac{\omega\tau}{2}}{\frac{\omega\tau}{2}}.}\tag{5}
$$

Время пролета $\tau=l/v=l/\sqrt{2eV/m}$ фиксировано! В пределе постоянного напряжения $\omega\to0$ приходим к результату задачи $7.3.4$

$$
S_{0}=\frac{Ll}{2Vd}
$$

(в формуле $(5)$ обнаруживается первый замечательный предел $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$).

Чувствительность вообще зависит от частоты $\omega$, как видим. Максимальное значение ее $S_0$. Меняется качественно $S(\omega)$ так же, как и функция $\frac{\sin x}{x}$.

Вот график функции $y=\frac{\sin x}{x}$:

Если мы увеличиваем частоту от нуля, то пока

$$
\frac{\omega\tau}{2}\ll1
$$

мы имеем $S\approx S_0$, а заметные отклонение чувствительности от максимума (или ее уменьшение от электростатического максимума $S_0$) будут уже при

$$
\frac{\omega\tau}{2}\sim1,
$$

что дает оценку

$$
\boxed{\nu\sim\frac1\tau=\frac{\sqrt{2eV/m}}{l}.}
$$

В издании Савченко 1981 г. формулировка более общая и ответ как оценка.

Связанная задача Капицы [4]: «Определить предел точности измерения интервала времени катодным осциллографом».

Ответ

[1] Жигарев А.А. Электронная оптика и электроннолучевые приборы.

[2] И. Яковлев. Тригонометрические формулы. mathus.ru.

[3] И.В. Яковлев. Физика. МЦНМО. 2021.

[4] П.Л. Капица. Физические задачи. 1966.

Ответ

$$
\nu\sim\frac1\tau=\frac{\sqrt{2eV/m}}{l}.
$$