Движение заряженных частиц в электрическом поле > Взаимодействие заряженных частиц > Задача 7.4.37

Условие

$7.4.37.$ Три заряженных тела одинаковой масссы, разлетаясь, образуют всегда равнобедренный треугольник с углами $\alpha$ при вершине. Во сколько раз заряд тела, расположенного в вершине треугольника больше заряда тела в его основании.

Решение

$\Delta ABC$ - равнобедренный треугольник, $AK$ - высота, медиана и биссектриса, $\angle CAK=\frac{\alpha}{2}$. Поместим начало системы координат в точку $K(0;0)$, ось $x$ направим вдоль основания $BC$, ось $y$ направим вдоль высоты $AK$. Обозначим $AK=h$, $BK=KC=d$, тогда в нашей системе координат координаты точек: $A(0;h)$, $B(-d;0)$, $C(d;0)$.

Для того чтобы геометрическая конфигурация системы тел в процессе движения оставалась подобной самой себе, векторы ускорений всех тел в любой момент времени должны быть направлены строго от центра масс системы.

Из прямоугольного треугольника $\Delta AKC$:

$$d=AC\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\Longrightarrow \frac{AC}{d}=\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}} \tag{1}$$

Так как массы всех трёх тел одинаковы, центр масс находится в точке $L$ с координатами:

$$X_{цм}=\frac{0-d+d}{3}=0$$
$$Y_{цм}=\frac{h+0+0}{3}=\frac{h}{3}$$

Итак, центр масс $L(0;\frac{h}{3})$.

Радиус-вектор, проведенный из центра масс $L(0;\frac{h}{3})$ к телу в точке $C(d;0)$, имеет координаты: $\overrightarrow{LC}(d-0;0-\frac{h}{3})\Rightarrow \overrightarrow{LC}(d;-\frac{h}{3})$.

Результирующая кулоновская сила, действующая на тело в точке $C$ со стороны тел в точках $A$ и $B$, должна быть коллинеарна с вектором $\overrightarrow{LC}$. Условие коллинеарности:

$$\frac{F_{x}}{F_{y}}=\frac{d}{-\frac{h}{3}}=-\frac{3d}{h} \tag{2}$$

Запишим силу действующую на тело в точке $C$ со стороны тела в точке $B$:

$$F_{BC}=\frac{kq_{2}^{2}}{4d^{2}}$$

Эта сила направлена вдоль оси $x$.

Вектор $\overrightarrow{AC}$ имеет координаты: $\overrightarrow{AC}(d-0;0-h)\Rightarrow \overrightarrow{AC}(d;-h)$. Сила действующая на тело в точке $C$ со стороны тела в точке $A$ в векторной форме:

$$\vec F_{AC}=\frac{kq_{1}q_{2}}{AC^{3}}\cdot \overrightarrow{AC}(d;-h)$$

Суммарные компоненты силы на тело в точке $C$:

$$F_{x}=\frac{kq_{2}^{2}}{4d^{2}}+\frac{kq_{1}q_{2}d}{AC^{3}} \tag{3}$$
$$F_{y}=-\frac{kq_{1}q_{2}h}{AC^{3}} \tag{4}$$

Подставим компоненты силы в условие коллинеарности (2):

$$\frac{\frac{kq_{2}^{2}}{4d^{2}}+\frac{kq_{1}q_{2}d}{AC^{3}}}{-\frac{kq_{1}q_{2}h}{AC^{3}}}=-\frac{3d}{h}$$

Отсюда:

$$\frac{q_{2}}{4d^{2}}+\frac{q_{1}d}{AC^{3}}=\frac{3q_{1}d}{AC^{3}}$$
$$\frac{q_{2}}{4d^{2}}=\frac{2q_{1}d}{AC^{3}}\Longrightarrow \frac{q_{1}}{q_{2}}=\frac{1}{8}\cdot \left( \frac{AC}{d} \right)^{3} \tag{5}$$

Учитывая (1), окончательно получаем:

$$n=\frac{q_{1}}{q_{2}}=\frac{1}{8}\cdot \left( \frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}} \right)^{3}=\frac{1}{8\sin^{3}\frac{\alpha}{2}}$$

В ответе у Савченко опечатка/ошибка (для равностороннего треугольника из-за симметрии $n=1$, у Савченко с этим проблемы).

Ответ

$$n=\frac{1}{8\sin^{3}\frac{\alpha}{2}}$$