Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$2.1.57.$ На гладкое проволочное кольцо радиуса $R$, расположенное вертикально, надета маленькая бусинка. Кольцо вращается с угловой скоростью $\omega $ вокруг вертикальной оси, проходящей по диаметру кольца. Где находится бусинка?
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="150" />
<figcaption>
К задаче 2.1.57
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<center>
<figure>
<img src="draw.png"
loading="lazy" width="280" />
<figcaption>
Силы, действующие на кольцо
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
Проецируя силу натяжения нити $T$, записываем второй закон Ньютона на вертикальную и горизонтальную оси:
$$T \sin \alpha = ma_{ц}$$
$$mg - T \cos \alpha = 0$$
Отсюда
$$mg \tan \alpha = ma_{ц}\quad(1)$$
Найдем центростремительное ускорение через угловую скорость вращения $\omega$
$$a_{ц} = \omega ^2 r = \omega ^2 R \sin \alpha$$
Подставляем в $(1)$
$$g = \omega ^2 R \cos \alpha$$
Откуда находим $\alpha$
$$\boxed{\cos\alpha = \frac{g}{\omega ^2 R}}$$
Учитывая область определения косинуса
$$-1 \leq \cos \alpha \leq 1$$
При $g > \omega ^2 R$, угловой скорости уже не будет хватать, чтобы поднять тело на какой-то угол и тело займет устойчивое положение в низшей точке своей траектории, соответствующей
$$\boxed{\alpha = 0}$$
</p>
<h3> Ответ: </h3>
<p>
$\cos\alpha = g/(\omega ^2 R)$ при $g/(\omega ^2 R) < 1;$
</p>
<p>
$\alpha = 0$ при $g/(\omega ^2 R) > 1$
</p>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions