Savchenko Solutions
<h3 id="back-link"><a href="/ru#1.5">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$ 1.5.15.$ Постройте примерный график зависимости скорости точки $B$ от времени, если скорость $v_{a}$ точки $A$ постоянна. Найдите формулу этой зависимости,
если
К задаче 1.5.15
<h3> Решение: </h3>
<center>
<figure>
<img src="draw.png"
loading="lazy" width="300" />
<figcaption>
Распределение скоростей на нитях
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением <a href="/1.5.14">1.5.14</a></p>
<p>В момент времени $t$ высота, на которую опустилась точка</p>
<p class="exp"> $$x = v_A t\\;(1)$$ </p>
<p>Рассмотрим изменение длины нити за маленький промежуток времени $dt$
</p>
<p class="exp"> $$dl = \sqrt{L^2 + (x+dx)^2}-\sqrt{L^2 + x^2}$$ </p>
<p class="exp"> $$dl = \sqrt{L^2 + x^2}(\sqrt{1 + \frac{2xdx}{L^2 + x^2}}-1)$$ </p>
<p>Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x$, где $x\rightarrow 0$:</p>
<p class="exp"> $$dl = \frac{xdx}{\sqrt{L^2 + x^2}}$$ </p>
<p>Учитывая, что $v_B = \frac{dl}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$</p>
<p class="exp"> $$v_B = \frac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}} \frac{dx}{dt}$$ </p>
<p class="exp"> $$v_B = v_A\frac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}}$$ </p>
<p>Подставляем $(1):$ </p>
<p class="exp"> $$\fbox{$v_B = \frac{v_A^2t}{\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$}$$ </p>
<p>NO: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в <a href="https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf" target="_blank">"Очень длинных физических задачах"</a> А.И.Слободянюка(Задача 2)</p>
<h3> Ответ: $v_B = \frac{v_A^2t}{\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$</h3>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>