Два одинаковых шарика с зарядами \pm q, жестко связанные невесомымстержнем длины l, находятся в электрическом поле, которое действует на нихс силой \pm qE. Определите массу шарика, если амплитуда малых поперечныхколебаний шариков равна x_0, а максимальная скорость шариков v_0.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.1.8^*.$ Два одинаковых шарика с зарядами $\pm q$, жестко связанные невесомым

стержнем длины $l$, находятся в электрическом поле, которое действует на них
с силой $\pm qE$. Определите массу шарика, если амплитуда малых поперечных
колебаний шариков равна $x_0$, а максимальная скорость шариков $v_0$.

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        Второй закон ньютона для нормальной силы кулона, которая создаёт возвращающий момент силы, найдем в проекции на вертикальную ось

$$ma_\tau=-qE\sin\varphi$$
Т.к. угол $\varphi$ пренебрежимо маленький, то воспользуемся $\sin\varphi\approx\varphi$
$$-qE\varphi=-qE\frac{2x}{l}$$
Откуда получаем уравнение гармонических колебаний
$$m\ddot{x}(t)+\frac{2qE}{l}x(t)=0$$
$$\ddot{x}(t)+\frac{2qE}{ml}x(t)=0$$
Решение которого нам известно:
$$\omega=\sqrt{\frac{2qE}{ml}}$$
Откуда, аналогично 3.1.6, находим максимальную скорость
$$\upsilon_0=x_0\omega=x_0\sqrt{\frac{2qE}{ml}}$$
После математических преобразований получаем массу шарика
$$\boxed{m=\frac{2qEx_0^2}{l\upsilon_0^2}}$$

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$m=\frac{2qEx_0^2}{l\upsilon_0^2}$$
    </p>
	<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
      Dzikan Mikita<br>
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>