Провод, лежащий в одной плоскости, состоит из двух длинных прямых параллельных участков, связанных полуокружностью. По проводу течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в центре полуокружности.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#9.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $9.2.12.$ Провод, лежащий в одной плоскости, состоит из двух длинных прямых параллельных участков, связанных полуокружностью. По проводу течет ток $I$. Определите индукцию магнитного поля в центре полуокружности.
    </p>

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        Магнитное поле в искомой точке будет перпендикулярно плоскости провода, а значит для нахождения индукции надо найти индукцию $\vec{B}_1$ полубесконечого провода и полуокружности $\vec{B}_2$

$$B_1 = \int\limits_{0}^{\infty}\varepsilon_0 \mu_0 \left[\frac{\vec{(dx\lambda )}}{4\pi\varepsilon_0 (x^2 + R^2)} \times \vec{v} \right]$$
$$B_1 = \int\limits_{0}^{\infty}\frac{Idx\mu_0}{4\pi (x^2+ R^2)}\cdot \sin\alpha\quad(1)$$
Из геометрических соображений
$$\sin\alpha= \frac{R}{\sqrt{x^2 + R^2}}\quad(2)$$
Далее, подставляем $(2)$ в $(1)$
$$B_1 = \int\limits_0^\infty \frac{\mu_0 I dxR}{4\pi{(x^2 + R^2)}^{3/2}} = \frac{\mu_0 IR}{4\pi}\int\limits_0^\infty \frac{dx}{(x^2+R^2)^{3/2}}$$
Вводим относительную величину $u=\frac{x}{R}$:
$$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\int\limits_0^\infty \frac{du}{(u^2+1)^{3/2}}\quad(3)$$
к этому интегралу вернёмся чуть позже, а пока обозначим его значение как $(3)$
Теперь посчитаем значение $B_2$
$$B_2 = \int\limits_0^\pi\frac{\mu_0 IR}{4\pi R^2}~d\alpha = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\int\limits_0^\pi d\alpha$$
$$\boxed{B_2= \frac{\mu_0 I}{4R}}\quad(4)$$
Тогда, учитывая, что наличие двух проводов, суммарная магнитная индукция
$$\boxed{B = 2B_1 + B_2}\quad(5)$$
Возвращаемся к нашему $(3)$ интегралу 😋

$$A=\int\limits_0^\infty \frac{du}{(u^2+1)^{3/2}}$$
Делаем тригонометрическую замену
$$u = \tan \alpha;\quad du = \frac{d\alpha}{\cos^2 \alpha}$$
$$\int\limits_0^\infty \frac{du}{(u^2+1)^{3/2}} = \int\limits_0^\frac{\pi}{2} \frac{d\alpha}{\cos^2 \alpha \cdot (\tan^2\alpha +1)^{3/2}}$$
$$\boxed{A = \int\limits_0^\frac{\pi}{2} \cos\alpha ~d\alpha = 1}$$
Так как значение $(3)$ равно $1$, то
$$\boxed{B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}}\quad(6)$$
Подставляем выражения для компонент $B_1$ и $B_2$ из $(6)$ и $(5)$, соответственно, в выражение для суммарной магнитной индукции $(5)$
$$B = \frac{\mu_0 I}{4R}\left(1+\frac{2}{\pi}\right) \Rightarrow \boxed{B = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}(\pi + 2)}$$

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}(\pi + 2) $$
    </p>
    <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
      Andrei Yersh<br>
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>