| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <a href="../../" style="text-decoration: none;"> | | <a href="../../" style="text-decoration: none;"> |
| <div id="logo"> | | <div id="logo"> |
| <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> | | <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> |
| </div> | | </div> |
| </a> | | </a> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> | | Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> |
| <i><b>knowledge must be free</b></i> | | <i><b>knowledge must be free</b></i> |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#4.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#4.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $4.1.14.$ Трубка радиуса $r$ закрыта снизу металлическим диском и погружена в жидкость на глубину $H$. Радиус диска $R$, высота $h$. Ось диска отстоит от оси трубки на расстояние $a$. Плотность жидкости $\rho_0$, плотность металла $\rho$. До какой высоты нужно наливать жидкость в трубку, чтобы диск оторвался от трубки? | | $4.1.14.$ Трубка радиуса $r$ закрыта снизу металлическим диском и погружена в жидкость на глубину $H$. Радиус диска $R$, высота $h$. Ось диска отстоит от оси трубки на расстояние $a$. Плотность жидкости $\rho_0$, плотность металла $\rho$. До какой высоты нужно наливать жидкость в трубку, чтобы диск оторвался от трубки? |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="statement.png" | | <img src="statement.png" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| К задаче 4.1.14 | | К задаче 4.1.14 |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| <p> | | <p> |
| На диск действуют сила Архимеда $\rho_0g\pi R^2h$, сила тяжести $\rho g\pi R^2h$, добавочное давление от столба воды в трубке и сила реакции | | На диск действуют сила Архимеда $\rho_0g\pi R^2h$, сила тяжести $\rho g\pi R^2h$, добавочное давление от столба воды в трубке и сила реакции |
| $$ | | $$ |
| mg + F_1 + N + \rho_0gx\pi r^2 = F_2 \quad \Rightarrow\\ \rho\pi R^2hg+\rho_0gH\pi (R^2-r^2) + \rho_0gx\pi r^2 + N= \rho_0g(H+h)\pi R^2. | | mg + F_1 + N + \rho_0gx\pi r^2 = F_2 \quad \Rightarrow\\ \rho\pi R^2hg+\rho_0gH\pi (R^2-r^2) + \rho_0gx\pi r^2 + N= \rho_0g(H+h)\pi R^2. |
| $$ | | $$ |
| После преобразований | | После преобразований |
| $$ | | $$ |
| N+ (\rho -\rho_0)\pi R^2hg = \rho_0g(H-x)\pi r^2. | | N+ (\rho -\rho_0)\pi R^2hg = \rho_0g(H-x)\pi r^2. |
| $$ | | $$ |
| А теперь запишем равенство моментов относительно, например, оси трубки: | | А теперь запишем равенство моментов относительно, например, оси трубки: |
| $$ | | $$ |
| (\rho -\rho_0)\pi R^2gh\cdot a = M. | | (\rho -\rho_0)\pi R^2gh\cdot a = M. |
| $$ | | $$ |
| Откуда должен появляться момент сил $M$? Логично, что из-за действия силы $N$. На самом деле когда мы набираем воду в трубку (увеличиваем $x$), то в какой-то предельный момент вода втекает под трубку как бы “сбоку”, то есть момента сил уже не хватает для того, чтобы уравновесить диск. Короче говоря, пока мы наливаем воду, распределение сил давления вдоль торца трубки меняется, и в целом точка приложения $N$ относительно оси трубки немного смещена на, допустим, величину $y$. Тогда | | Откуда должен появляться момент сил $M$? Логично, что из-за действия силы $N$. На самом деле когда мы набираем воду в трубку (увеличиваем $x$), то в какой-то предельный момент вода втекает под трубку как бы “сбоку”, то есть момента сил уже не хватает для того, чтобы уравновесить диск. Короче говоря, пока мы наливаем воду, распределение сил давления вдоль торца трубки меняется, и в целом точка приложения $N$ относительно оси трубки немного смещена на, допустим, величину $y$. Тогда |
| $$ | | $$ |
| M=Ny. | | M=Ny. |
| $$ | | $$ |
| Тогда, решая систему уравнений, получаем, что | | Тогда, решая систему уравнений, получаем, что |
| $$ | | $$ |
| \boxed{x = H - h\left(\frac{\rho}{\rho_0} -1\right)\left(1+\frac{a}{y}\right)\frac{R^2}{r^2}} | | \boxed{x = H - h\left(\frac{\rho}{\rho_0} -1\right)\left(1+\frac{a}{y}\right)\frac{R^2}{r^2}} |
| $$ | | $$ |
| Из уравнения видно, что чем больше $x$, тем больше нужно $y$. В какой-то момент может случиться, что $y>r$, и, за невозможностью системе поддержать баланс при таких условиях, диск оторвётся от трубки. Делаешь замену $y\rightarrow r$ в конечном уравнении – это и будет твоим ответом. | | Из уравнения видно, что чем больше $x$, тем больше нужно $y$. В какой-то момент может случиться, что $y>r$, и, за невозможностью системе поддержать баланс при таких условиях, диск оторвётся от трубки. Делаешь замену $y\rightarrow r$ в конечном уравнении – это и будет твоим ответом. |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h4> | | <h4> |
| Ответ: | | Ответ: |
| </h4> | | </h4> |
| <p>$$x=H-(R^{2}/r^{2})(1+a/r)(\rho /\rho_{0}-1)h$$</p> | | <p>$$x=H-(R^{2}/r^{2})(1+a/r)(\rho /\rho_{0}-1)h$$</p> |
| | | |
