| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <a href="../../" style="text-decoration: none;"> | | <a href="../../" style="text-decoration: none;"> |
| <div id="logo"> | | <div id="logo"> |
| <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> | | <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> |
| </div> | | </div> |
| </a> | | </a> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> | | Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> |
| <i><b>knowledge must be free</b></i> | | <i><b>knowledge must be free</b></i> |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $2.1.22.$ Через какое время скорость тела, которому сообщили вверх по наклонной плоскости скорость $v$, снова будет равна $v$? Коэффициент трения $\mu$, угол между плоскостью и горизонтом $\alpha$, $\tan\alpha > \mu$ | | $2.1.22.$ Через какое время скорость тела, которому сообщили вверх по наклонной плоскости скорость $v$, снова будет равна $v$? Коэффициент трения $\mu$, угол между плоскостью и горизонтом $\alpha$, $\tan\alpha > \mu$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| | | |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="sol.png" | | <img src="sol.png" |
| loading="lazy" width="350" /> | | loading="lazy" width="350" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Силы действующие на тело | | Силы действующие на тело |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Тело на наклонной плоскости находится под действием трёх сил: силы тяжести $\vec{F}_{1} = m \vec{g}$, силы трения $\vec{F}_{2} = - \mu mg$ и нормальной реакции связи $\vec{N}$, однако, при дальнейшем рассмотрении движения нормальную реакцию можно не рассматривать, т.к. её проекция на горизонтальную ось, вдоль которой движется тело, равна нулю. | | Тело на наклонной плоскости находится под действием трёх сил: силы тяжести $\vec{F}_{1} = m \vec{g}$, силы трения $\vec{F}_{2} = - \mu mg$ и нормальной реакции связи $\vec{N}$, однако, при дальнейшем рассмотрении движения нормальную реакцию можно не рассматривать, т.к. её проекция на горизонтальную ось, вдоль которой движется тело, равна нулю. |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось ОХ при движении тела вверх в векторной форме запишется следующим образом | | Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось ОХ при движении тела вверх в векторной форме запишется следующим образом |
| $$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = m \vec{a}$$ | | $$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = m \vec{a}$$ |
| Определим проекции действующих сил на ось ОХ и запишем уравнение второго закона Ньютона | | Определим проекции действующих сил на ось ОХ и запишем уравнение второго закона Ньютона |
| $$F_{1x} = mg \sin\alpha , F_{2x} = \mu mg \cos\alpha$$ | | $$F_{1x} = mg \sin\alpha , F_{2x} = \mu mg \cos\alpha$$ |
| $$\mu mg \cos\alpha + mg \sin\alpha = ma$$ | | $$\mu mg \cos\alpha + mg \sin\alpha = ma$$ |
| Поделим обе части последнего уравнения на массу $m$ и выразим величину ускорения | | Поделим обе части последнего уравнения на массу $m$ и выразим величину ускорения |
| $$a = g( \sin\alpha + \mu\cos\alpha )$$ | | $$a = g( \sin\alpha + \mu\cos\alpha )$$ |
| Время движения тела вверх $t_1$ определится из условия равенства нулю скорости в конце подъёма | | Время движения тела вверх $t_1$ определится из условия равенства нулю скорости в конце подъёма |
| $$0 = v_{0} - at \Rightarrow t_{1} = \frac{v_{0} }{a} = \frac{v_{0} }{g ( \sin\alpha + \mu\cos\alpha ) }$$ | | $$0 = v_{0} - at \Rightarrow t_{1} = \frac{v_{0} }{a} = \frac{v_{0} }{g ( \sin\alpha + \mu\cos\alpha ) }$$ |
| Движению тела вниз соответствует уравнение | | Движению тела вниз соответствует уравнение |
| $$mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha = ma$$ | | $$mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha = ma$$ |
| $$a = g( \sin\alpha - \mu\cos\alpha )$$ | | $$a = g( \sin\alpha - \mu\cos\alpha )$$ |
| Скорость станет равной $v_0$ только в конце спуска, потому как закона сохранения энергии никто не отменял, поэтому | | Скорость станет равной $v_0$ только в конце спуска, потому как закона сохранения энергии никто не отменял, поэтому |
| $$\frac{dv}{dt} = g( \sin\alpha + \mu\cos\alpha )$$ | | $$\frac{dv}{dt} = g( \sin\alpha + \mu\cos\alpha )$$ |
| $$\int_{0}^{v_{0} } dv = g( \sin\alpha + \mu\cos\alpha ) = \int_{0}^{t_{2} } dt$$ | | $$\int_{0}^{v_{0} } dv = g( \sin\alpha + \mu\cos\alpha ) = \int_{0}^{t_{2} } dt$$ |
| $$t_{2} = \frac{v_{0} }{g ( \sin\alpha + \mu\cos\alpha ) }$$ | | $$t_{2} = \frac{v_{0} }{g ( \sin\alpha + \mu\cos\alpha ) }$$ |
| Искомое время определится в виде суммы $t = t_{1} + t_{2}$ | | Искомое время определится в виде суммы $t = t_{1} + t_{2}$ |
| $$\boxed{t = \frac{2v_{0} \sin\alpha}{g( \sin^{2} \alpha - \mu^{2} \cos^{2} \alpha )}}$$ | | $$\boxed{t = \frac{2v_{0} \sin\alpha}{g( \sin^{2} \alpha - \mu^{2} \cos^{2} \alpha )}}$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h3> | | <h3> |
| Ответ: | | Ответ: |
| </h3> | | </h3> |
| <p> | | <p> |
