Solutions of Savchenko Problems in Physics knowledge must be free
<h3 id="back-link"><a href="/ru#1.5">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$1.5.10.$ По внутренней поверхности закрепленного цилиндра радиуса $2r$ катится без проскальзывания колесо радиуса $r$. Найдите траекторию точки обода колеса
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="150" />
<figcaption>
К задаче 1.5.10
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<center>
<figure>
<img src="01.gif"
loading="lazy" width="250" />
<figcaption>
Построение гипоциклоиды при $r= \frac{R}{2}$
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
Данная траектория является так называемой <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%B0" target="_blank">Гипоциклоидой</a><br><br>
Заданная параметричеким уравнением:
</p>
<p class="exp">
$$\begin{gathered}\begin{cases}x=r(k-1)\left(\cos t+\frac{\cos((k-1)t)}{k-1}\right)\\y=r(k-1)\left(\sin t-\frac{\sin((k-1)t)}{k-1}\right)&\end{cases}\end{gathered}$$
</p>
<p>
При $r= R/2$, данная траетория ложиться на диаметр
</p>
<h3> Доказательство: </h3>
<p>Пусть в начальный момент окружности касаются в точке $A$, лежащей на оси $Ox$, где точка $O$ — центр большой окружности. Координаты точки $A$ при этом - $ (kr, 0) $, где $ k = \frac{R}{r} $. Рассмотрим, как меняются координаты точки $A$, привязанной к катящейся окружности ($A$ переходит в $ A' $). Пусть маленькая окружность прокатилась так, что её центр перешел из точки $ C' $ в точку $ C'' $ и повернулся относительно точки $O$ на угол $ t $.</p>
<p>Во-первых, можно показать, что поворот маленькой окружности относительно своего центра при этом (т.е. угол между $ CA $ и $ C' A' $) равен $ t - kt = -(k-1)t $. Во-вторых, координаты точки $ C' $ будут такими: $ (cos(t)(k-1)r, \sin(t)(k-1)r) $. Тогда, зная, куда перейдет центр катящейся окружности, и на какой угол она повернулась относительно этого центра, можно записать координаты точки $ A' $:</p>
<p class="exp">
$ \begin{cases}
x = \cos(t)(k-1)r + \cos((k-1)t)r \\
y = \sin(t)(k-1)r - \sin((k-1)t)r
\end{cases} $
</p>
<h3> Ответ: </h3>
<p>Траектория точки обода колеса проходит по диаметру цилиндра.</p>
Savchenko Solutions