| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <a href="../../" style="text-decoration: none;"> | | <a href="../../" style="text-decoration: none;"> |
| <div id="logo"> | | <div id="logo"> |
| <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> | | <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> |
| </div> | | </div> |
| </a> | | </a> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> | | Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> |
| <i><b>knowledge must be free</b></i> | | <i><b>knowledge must be free</b></i> |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $2.2.32^*.$ В цилиндре под поршнем массы $M$ прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, $N$ шариков массы $m$ каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно $h$. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень быстро убрать? $N \gg 1$. | | $2.2.32^*.$ В цилиндре под поршнем массы $M$ прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, $N$ шариков массы $m$ каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно $h$. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень быстро убрать? $N \gg 1$. |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="statement.png" | | <img src="statement.png" |
| loading="lazy" width="230" /> | | loading="lazy" width="230" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| К задаче 2.2.32 | | К задаче 2.2.32 |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| <p style="font-style: italic;"> | | <p style="font-style: italic;"> |
| NO: Эта задача была в одном из туров отборочных испытаний в Национальную сборную Республики Беларусь на Международную Физическую Олимпиаду | | NO: Эта задача была в одном из туров отборочных испытаний в Национальную сборную Республики Беларусь на Международную Физическую Олимпиаду |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| Поршень не падает, потому что импульс, который передают ударяющиеся каждые $\Delta t$ секунд шарики, компенсирует силу тяжести, действующую на поршень | | Поршень не падает, потому что импульс, который передают ударяющиеся каждые $\Delta t$ секунд шарики, компенсирует силу тяжести, действующую на поршень |
| $$Mg = N \frac{dp}{dt} \quad\text{(1)}$$ | | $$Mg = N \frac{dp}{dt} \quad\text{(1)}$$ |
| Т.к. удар абсолютно упругий, скорость шарика по модулю при ударе сохраняется, а по направлению меняется на противоположную | | Т.к. удар абсолютно упругий, скорость шарика по модулю при ударе сохраняется, а по направлению меняется на противоположную |
| $$dp = m(v - (-v)) = 2mv \quad\text{(2)}$$ | | $$dp = m(v - (-v)) = 2mv \quad\text{(2)}$$ |
| Время между двумя последовательными соударениями одного шарика $\Delta t$ найдем из кинематических соображений | | Время между двумя последовательными соударениями одного шарика $\Delta t$ найдем из кинематических соображений |
| $$v_0t - \frac{gt^2}{2} = H \quad\text{(3)}$$ | | $$v_0t - \frac{gt^2}{2} = H \quad\text{(3)}$$ |
| $$v_0 - gt = v \quad\text{(4)}$$ | | $$v_0 - gt = v \quad\text{(4)}$$ |
| $$v= \sqrt{v_0^2 - 2gh} \quad\text{(5)}$$ | | $$v= \sqrt{v_0^2 - 2gh} \quad\text{(5)}$$ |
| Из $\text{(3)}$ выразим $t$ | | Из $\text{(3)}$ выразим $t$ |
| $$t = \frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g} \quad\text{(6)}$$ | | $$t = \frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g} \quad\text{(6)}$$ |
| Перепишем $\text{(1)}$ | | Перепишем $\text{(1)}$ |
| $$Mg = N \frac{2m\sqrt{v_0^2 - 2gh}}{2\frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g}} \quad\text{(7)}$$ | | $$Mg = N \frac{2m\sqrt{v_0^2 - 2gh}}{2\frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g}} \quad\text{(7)}$$ |
| $$M(v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}) = N m\sqrt{v_0^2 - 2gh} \quad\text{(5)}$$ | | $$M(v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}) = N m\sqrt{v_0^2 - 2gh} \quad\text{(5)}$$ |
| $$Mv_0 = (M+N m)\sqrt{v_0^2 - 2gh} \quad\text{(8)}$$ | | $$Mv_0 = (M+N m)\sqrt{v_0^2 - 2gh} \quad\text{(8)}$$ |
| Возводим обе части в квадрат | | Возводим обе части в квадрат |
| $$M^2v_0^2 = (M+N m)^2(v_0^2 - 2gh) \quad\text{(9)}$$ | | $$M^2v_0^2 = (M+N m)^2(v_0^2 - 2gh) \quad\text{(9)}$$ |
| Откуда находим скорость: | | Откуда находим скорость: |
| $$v_0 = \sqrt{2gh\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \quad\text{(10)}$$ | | $$v_0 = \sqrt{2gh\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \quad\text{(10)}$$ |
| Из закона сохранения энергии, шарик запущенный со скоростью $v_0$ с поверхности земли достигнет максиму своего полета на высоте | | Из закона сохранения энергии, шарик запущенный со скоростью $v_0$ с поверхности земли достигнет максиму своего полета на высоте |
| $$H=\frac{v_0^2}{2g} \quad\text{(11)}$$ | | $$H=\frac{v_0^2}{2g} \quad\text{(11)}$$ |
| $$\boxed{H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \quad\text{(12)}$$ | | $$\boxed{H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \quad\text{(12)}$$ |
| | | |
| </p> | | </p> |
| <h4> | | <h4> |
| Ответ: | | Ответ: |
| </h4> | | </h4> |
