6.1.11 | правка #11485 | Решения Савченко

Четыре положительных заряда Q, q, Q, q связаны четырьмя нитямитак, как показано на рисунке. Длина каждой нити \ell. Определите углы между нитями.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#6.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $6.1.11.$ Четыре положительных заряда $Q, q, Q, q$ связаны четырьмя нитямитак, как показано на рисунке. Длина каждой нити $\ell$. Определите углы между нитями.

    <h3>Решение</h3>

Обозначим углы при $$Q$$ за $\varphi$ , тогда угол при $$q$$ : $\pi -\varphi$ ).

Распишем проекции сил, действующих на $$Q$$ , на ось, параллельную отрезку $$QQ$$ : $F_{QQ}+2F_{Qq} \cdot \cos{\varphi/2}-2T \cdot \cos{\varphi/2}=0$

F=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\ell^2}\left(\frac{Q}{(4\cos^2{\varphi/2}}+2q \cos{\varphi/2}\right) -2T \cos{\varphi/2}

Выражаем силу натяжения нити

T=\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ\right)

Аналогично с

$q$

и осью

$qq$

F_{qq}+2F_{Qq} \cdot \cos{\frac{\pi -\varphi}{2}}-2T \cdot \cos{\frac{\pi -\varphi}{2}}=0

Математические преобразования

F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{q^2}{(2\ell\sin{\varphi/2})^2}+2\frac{qQ}{\ell^2} \cdot \sin{\varphi/2}-\\-2\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ\right) \cdot \sin{\varphi/2}\right]=0

			$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{q^2}{(2\sin{\varphi/2})^3}-\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}\right)=0$$
			</div>
			 </p>
		  </div>
	   </div>
	</div>
  	Откуда получаем тригонометрическое соотношение для системы зарядов
	$$\frac{q^2}{(\sin{\varphi/2})^3}-\frac{Q^2}{(\cos{\varphi/2})^3}=0$$
	Разделив одну часть на другую, находим искомый угол

$\tan^3{\varphi/2}=\frac{q^2}{Q^2} \Rightarrow \boxed{\varphi=2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}}$

    </p>

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$\varphi=2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}$$

$\pi-\varphi=\pi -2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}$

Artem Levko

<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>