Вокруг заряда q вращаются по круговой орбите, располагаясь в углах квадрата со стороной \ell, четыре одинаковых частицы массы m и заряда −q каждая. Заряд q находится в центре этого квадрата. Определите угловую скорость движения частиц по орбите.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#6.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $6.1.13.$ Вокруг заряда $q$ вращаются по круговой орбите, располагаясь в углах квадрата со стороной $\ell$, четыре одинаковых частицы массы $m$ и заряда $−q$ каждая. Заряд $q$ находится в центре этого квадрата. Определите угловую скорость движения частиц по орбите.
    </p>

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        Найдём момент модуля суммарной силы $F$, действующей на $-q$:

$$F\ell=F_k\cdot\frac{\ell}{\sqrt{2}}-2F_k\cdot \ell \cdot \cos{45^{\circ}}-F_k\cdot\sqrt{2}\ell\quad(1)$$
1-й член: взаимодействие заряда с центральным $q$, 2-й: с 2-мя соседними $-q$, 3-й: с противоположным $-q$

Подставляем выражение для закона Кулона
$$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2q^2}{\ell^2}-2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{2\ell^2}\quad(2)$$
$$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \left(\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\right)\quad(3)$$
NO:
$F>0,$ т.е. заряды могут двигаться по окружности.

Согласно динамике вращательного движения
$$\omega^2r=a_{\text{цс}}=\frac{F}{m}\quad(4)$$
Откуда выражаем угловую скорость $\omega$ движения частиц

После математических преобразований, получаем финальное выражение $$\boxed{\omega=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{m\ell^3}}}\quad(6)$$

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$\omega=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{m\ell^3}}$$
    </p>
    <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
      Artem Levko<br>
    </p>

<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>