Правка раздела «Решение»
ru/1.3.18.md
+2 −2
| ### Условие: | |||
| $1.3.18^*.$ В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо всегда равен $T_1$, а при движении справа налево — $T_2 \neq T_1$. Определите радиус лунки. | |||
|  | |||
| ### Решение: | |||
|  | |||
| a) Найдем радиус лунки, являющейся перпендикулярной к поверхности лунки в точках удара и удар абсолютно упругий, то углы между векторами скорости шарика в моменты удара и отскока одинаковы. Поэтом наша задача аналогична тому, что из точки $O$ (см. рис.) одновременно бросают два тела с равными начальными скоростями oo под углами к горизонту $\beta$ и $( \beta + 2 \alpha )$ соответственно, причем дальность полета обоих случаев одинакова. | |||
| $$S = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 \beta}{g} = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 ( \beta + 2 \alpha ) }{g}$$ | |||
| @@ -14,7 +14,7 @@Решение: | |||
| Откуда получим: | |||
| − | $\sin 2 \beta = \sin 2( \beta + 2 \alpha )$, или $\beta + \alpha = 45^{ \circ}$ | ||
| + | $$\sin 2 \beta = \sin 2( \beta + 2 \alpha )$, или $\beta + \alpha = 45^{ \circ}$$ | ||
| Тогда радиус лунки можно определить как: | |||
| $$R= \frac{\frac{1}{2}S}{ \cos ( \beta + \alpha ) } = \frac{S}{ \sqrt{2} }$$ | |||
| Для определения дальности полета $S$ запишем уравнения движения тела в проекции на ось $Ox$ системы координат: | |||
| $$x_{1} = v_{0} \cos\beta t - \frac{1}{2} gt^{2}, x_{2} = v_{0} \cos ( \beta + 2 \alpha )t - \frac{1}{2} gt^{2}$$ | |||
| @@ -26,7 +26,7 @@Решение: | |||
| В моменты времени $T_{1}$ и $T_{2}$ координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ становятся равны нулю. Поэтому: | |||
| − | $0 = v_{0} \cos\beta T_{1} - 1 /2 gT_{1}^{2}$ | ||
| + | $$0 = v_{0} \cos\beta T_{1} - 1 /2 gT_{1}^{2}$$ | ||
| $$0 = v_{0} \cos( \beta + 2 \alpha ) T_{2} - \frac{1}{2} gT_{2}^{2}$$ | |||
| или с учетом, что $\alpha = 45^{ \circ} - \beta$: | |||
| $$v_{0} \cos\beta = \frac{1}{2} gT_{1}, v_{0} \sin\beta = \frac{1}{2} gT_{2}$$ | |||
| Перемножая последние соотношения, получим: | |||
| $$v_{0}^{2} \sin\beta\cos\beta = \frac{1}{4} g^{4}T_{1}T_{2}$$ | |||
| Следовательно, дальность полета равна: | |||
| $$S = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \beta}{g} = \frac{gT_{1}T_{2} }{2}$$ | |||
| а радиус лунки: | |||
| $$R = \frac{S}{ \sqrt{2}} = \frac{gT_{1}T_{2} }{2 \sqrt{2} }$$ | |||
| #### Ответ: $R = gT_1T_2/(2\sqrt{2})$ | |||
| ### Альтернативное решение: | |||
|  | |||
| ещё строк без изменений 22 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $1.3.18^*.$ В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо всегда равен $T_1$, а при движении справа налево — $T_2 \neq T_1$. Определите радиус лунки. | $1.3.18^*.$ В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо всегда равен $T_1$, а при движении справа налево — $T_2 \neq T_1$. Определите радиус лунки. | ||
|  |  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  |  | ||
| a) Найдем радиус лунки, являющейся перпендикулярной к поверхности лунки в точках удара и удар абсолютно упругий, то углы между векторами скорости шарика в моменты удара и отскока одинаковы. Поэтом наша задача аналогична тому, что из точки $O$ (см. рис.) одновременно бросают два тела с равными начальными скоростями oo под углами к горизонту $\beta$ и $( \beta + 2 \alpha )$ соответственно, причем дальность полета обоих случаев одинакова. | a) Найдем радиус лунки, являющейся перпендикулярной к поверхности лунки в точках удара и удар абсолютно упругий, то углы между векторами скорости шарика в моменты удара и отскока одинаковы. Поэтом наша задача аналогична тому, что из точки $O$ (см. рис.) одновременно бросают два тела с равными начальными скоростями oo под углами к горизонту $\beta$ и $( \beta + 2 \alpha )$ соответственно, причем дальность полета обоих случаев одинакова. | ||
| $$S = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 \beta}{g} = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 ( \beta + 2 \alpha ) }{g}$$ | $$S = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 \beta}{g} = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 ( \beta + 2 \alpha ) }{g}$$ | ||
| @@ -14,7 +14,7 @@Решение: | |||
| Откуда получим: | Откуда получим: | ||
| $\sin 2 \beta = \sin 2( \beta + 2 \alpha )$, или $\beta + \alpha = 45^{ \circ}$ | $$\sin 2 \beta = \sin 2( \beta + 2 \alpha )$, или $\beta + \alpha = 45^{ \circ}$$ | ||
| Тогда радиус лунки можно определить как: | Тогда радиус лунки можно определить как: | ||
| $$R= \frac{\frac{1}{2}S}{ \cos ( \beta + \alpha ) } = \frac{S}{ \sqrt{2} }$$ | $$R= \frac{\frac{1}{2}S}{ \cos ( \beta + \alpha ) } = \frac{S}{ \sqrt{2} }$$ | ||
| Для определения дальности полета $S$ запишем уравнения движения тела в проекции на ось $Ox$ системы координат: | Для определения дальности полета $S$ запишем уравнения движения тела в проекции на ось $Ox$ системы координат: | ||
| $$x_{1} = v_{0} \cos\beta t - \frac{1}{2} gt^{2}, x_{2} = v_{0} \cos ( \beta + 2 \alpha )t - \frac{1}{2} gt^{2}$$ | $$x_{1} = v_{0} \cos\beta t - \frac{1}{2} gt^{2}, x_{2} = v_{0} \cos ( \beta + 2 \alpha )t - \frac{1}{2} gt^{2}$$ | ||
| @@ -26,7 +26,7 @@Решение: | |||
| В моменты времени $T_{1}$ и $T_{2}$ координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ становятся равны нулю. Поэтому: | В моменты времени $T_{1}$ и $T_{2}$ координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ становятся равны нулю. Поэтому: | ||
| $0 = v_{0} \cos\beta T_{1} - 1 /2 gT_{1}^{2}$ | $$0 = v_{0} \cos\beta T_{1} - 1 /2 gT_{1}^{2}$$ | ||
| $$0 = v_{0} \cos( \beta + 2 \alpha ) T_{2} - \frac{1}{2} gT_{2}^{2}$$ | $$0 = v_{0} \cos( \beta + 2 \alpha ) T_{2} - \frac{1}{2} gT_{2}^{2}$$ | ||
| или с учетом, что $\alpha = 45^{ \circ} - \beta$: | или с учетом, что $\alpha = 45^{ \circ} - \beta$: | ||
| $$v_{0} \cos\beta = \frac{1}{2} gT_{1}, v_{0} \sin\beta = \frac{1}{2} gT_{2}$$ | $$v_{0} \cos\beta = \frac{1}{2} gT_{1}, v_{0} \sin\beta = \frac{1}{2} gT_{2}$$ | ||
| Перемножая последние соотношения, получим: | Перемножая последние соотношения, получим: | ||
| $$v_{0}^{2} \sin\beta\cos\beta = \frac{1}{4} g^{4}T_{1}T_{2}$$ | $$v_{0}^{2} \sin\beta\cos\beta = \frac{1}{4} g^{4}T_{1}T_{2}$$ | ||
| Следовательно, дальность полета равна: | Следовательно, дальность полета равна: | ||
| $$S = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \beta}{g} = \frac{gT_{1}T_{2} }{2}$$ | $$S = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \beta}{g} = \frac{gT_{1}T_{2} }{2}$$ | ||
| а радиус лунки: | а радиус лунки: | ||
| $$R = \frac{S}{ \sqrt{2}} = \frac{gT_{1}T_{2} }{2 \sqrt{2} }$$ | $$R = \frac{S}{ \sqrt{2}} = \frac{gT_{1}T_{2} }{2 \sqrt{2} }$$ | ||
| #### Ответ: $R = gT_1T_2/(2\sqrt{2})$ | #### Ответ: $R = gT_1T_2/(2\sqrt{2})$ | ||
| ### Альтернативное решение: | ### Альтернативное решение: | ||
|  |  | ||
| ещё строк без изменений 22 | |||