1.5.16 | до правки #11782 | Решения Савченко

Условие

1.5.16. Стержень упирается своими концами в стороны прямого угла. Верхний конец стержня поднимают со скоростью $$v$$ . Найдите, как зависит от времени скорость его нижнего конца. За начало отсчета времени принять момент, когда верхний конец находится в вершине угла. Длина стержня $$L$$ .

Решение

Распределение скоростей концей стержня

NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением 1.5.14 и 1.5.15

В момент времени $$t$$ высота, на которую поднялся верхний конец

$y = v t\quad(1)$

Рассмотрим изменение координаты $x = \sqrt{L^2-y^2}$ за малый промежуток времени $$dt$$

$dx = \frac{ydy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$

Учитывая, что $v = \frac{dy}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$

$v_A = \frac{vy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$

Подставляем $$(1)$$

$\fbox{$v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$}$

Ответ

$v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$

Альтернативное решение

Распределение скоростей концей стержня

Координата верхнего конца может быть найдена как

$y=\upsilon t$

Проекции скоростей обоих концов на направление стержня равны:

$\upsilon\cos\alpha =u\cos(90^{\circ}-\alpha )$

$\upsilon\cos\alpha =u\sin\alpha$

$u=\upsilon\operatorname{ctg}\alpha =\upsilon\frac{y}{x}$

По теореме Пифагора

$$$x^2+y^2=L^2$$$

$x=\sqrt{L^2-y^2}=\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}$

Так как скорость $$u$$ направлена против оси $$x$$ , то

$$$x’=-u$$$

$u=-\frac{\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot (-\upsilon^2)}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$

$u=\frac{t\cdot \upsilon^2}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$

Если соединить центр стержня с вершиной прямого угла, то этот отрезок будет медианой прямоугольного треугольника и равен будет половине длины гипотенузы. Получается, что центр стержня движется по окружности с центром в точке О.