Решение

Рассмотрим эту систему как различные тела. Используя второй закон Ньютона, получаем: \begin{cases} \vec{F}_1 = m_1 \vec{a}_1 \\ \vec{F}_2 = m_2 \vec{a}_2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \vec{a}_1 = \frac{\vec{F}_1}{m_1} \\ \vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_2}{m_2} \end{cases} \quad \text{(1)} Вычтем $\vec{a}_2$ из $\vec{a}_1$: $$\vec{a}_1 - \vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_1}{m_1} - \frac{\vec{F}_2}{m_2} \quad \text{(2)}$$

Как мы видим, это похоже на производную от относительной скорости: $$\vec{v}_{B/A} = \vec{v}_B - \vec{v}_A \quad \text{(3)}$$ Решаем производную: $$\frac{d(\vec{v}_{B/A})}{dt} = \frac{d(\vec{v}_B)}{dt} - \frac{d(\vec{v}_A)}{dt} \Rightarrow \vec{a}_{B/A} = \vec{a}_B - \vec{a}_A \quad \text{(4)}$$ Вот почему мы можем сказать, что:

$$\vec{a}_1 - \vec{a}_2 = \vec{a}_{12} = \frac{\vec{F}_1}{m_1} - \frac{\vec{F}_2}{m_2} \quad \text{(5)}$$

Благодаря невесомости нити и третьему закону Ньютона $$\vec{F}_1 = -\vec{F}_2 = \vec{F}$$ В конечном счете: $$\vec{a}_{12} = \vec{F} \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) = \vec{F} \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \quad \text{(6)}$$ $a_{12} = \frac{v^2}{l}$, где $l$ - длина нити, а $v$ - относительная скорость$\quad (7)$. $$F = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac{v^2}{l} \quad \text{(8)}$$