Условие
2.2.24∗ . Два тела массы $m_1$ $m_2$ $\ell$ $v$
Решение
Силы действующие на систему
Рассмотрим эту систему как различные тела. Используя второй закон Ньютона, получаем:
\begin{cases} \vec{F}_1 = m_1 \vec{a}_1 \\\ \vec{F}_2 = m_2 \vec{a}_2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \vec{a}_1 = \frac{\vec{F}_1}{m_1} \\\ \vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_2}{m_2} \end{cases} \tag{1}
Вычтем $\vec{a}_2$ $\vec{a}_1$
$$\vec{a}_1 - \vec{a}_2 = \frac{\vec{F}_1}{m_1} - \frac{\vec{F}_2}{m_2} \tag{2}$$
Вычитание векторов
Как мы видим, это похоже на производную от относительной скорости:
$$\vec{v}_{B/A} = \vec{v}_B - \vec{v}_A \tag{3}$$
Находим производную:
$$\frac{d(\vec{v}_{B/A})}{dt} = \frac{d(\vec{v}_B)}{dt} - \frac{d(\vec{v}_A)}{dt} \Rightarrow \vec{a}_{B/A} = \vec{a}_B - \vec{a}_A \tag{4}$$
Вот почему мы можем сказать, что:
$$\vec{a}_1 - \vec{a}_2 = \vec{a}_{12} = \frac{\vec{F}_1}{m_1} - \frac{\vec{F}_2}{m_2} \tag{5}$$
Благодаря невесомости нити и третьему закону Ньютона
$$\vec{F}_1 = -\vec{F}_2 = \vec{F}$$
В конечном счете:
$$\vec{a}_{12} = \vec{F} \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) = \vec{F} \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \tag{6}$$
$a_{12} = \frac{v^2}{\ell}$ $\ell$ $v$
$$F = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac{v^2}{\ell} \tag{7}$$
Альтернативное решение
О - точка за которой прячется центр масс
$\vec{r_{2}}$ $\vec{r_{1}}$ $m_{2}$ $m_{1}$
Рис. 1.
Найдём $r_{2}$ $$\boxed{x_{o} = \frac{\sum_{k = 1}^{i} m_{k}x_{k}}{\sum_{k = 1}^{i} m_{k}}}$$
Отсчёт будем брать с точки O, тогда $x_{o} = 0$ $\ell = r_{1} + r_{2}$
$0 = \frac{m_{2}}{m_{} + m_{2}}r_{2} - \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}r_{1} \Rightarrow r_{2}m_{2} = r_{1}m_{1} \Rightarrow r_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1}}r_{2}$
Тогда $\ell = \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}}r_{2} \Rightarrow r_{2} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \ell$
Находим скорость точки О, учитывая $v_{m_{1}} := 0$
$w = \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{m_{1}} + \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}v = \frac{m_{2}}{m_{1} +m_{2}}v$
Перейдём в С.О.точки О.
о т н $u = v_{отн} = v - w = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}v$
Запишем второй закон Ньютона для ц.м. - $m_{2}$ $$\boxed{T = m_{2}a_{n} = \frac{u^2}{r_{2}}m_{2} = \frac{v^2 m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})\ell}}$$
Ответ
$$F = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \frac{v^2}{\ell}$$
