Решение

Поместим точку ноль горизонтальной оси под цилиндром. Запишем функцию изменения положения точки центра масс системы от времени: $$x_{c}(t) = \frac{L m(t)}{M},$$ где $m(t)$ – масса жидкости, вылившейся из сосуда на расстоянии $L$, а $M$ – полная масса жидкости.

$$m(t) = h(t) S \rho$$ где $h(t)$ – уровень жидкости в сосуде, считая от верхней точки (т.е. $h(0) = 0$). $$h(t) = \frac{a t^2}{2}.$$ Подставим одно в другое и получим: $$x_{c}(t) = \frac{L S \rho a t^2}{2 M},$$ или $$x_{c}(t) = \frac{a t^2}{2},$$ где $a_{c} = \frac{L S \rho a}{M}$ – ускорение центра масс системы. Мы видим, что центр масс системы движется по оси $x$ равноускоренно. Значит, его скорость меняется со временем по закону $v_{c}(t) = a_{c} t$

Теперь мы можем сказать, как зависит от времени импульс системы: $$p(t) = M v_{c}(t). M = a_{c} M.$$ Воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме, чтобы определить силу, в результате действия которой меняется импульс системы (единственная такая сила, действующая по оси $x$ – это искомая сила реакции опоры). $$F = \frac{dp}{dt} = M a_{c} = \frac{L S \rho a}{M} M.$$ Наконец, подставив выражение для $a_{c}$, получим: $$F = \frac{L S \rho a}{M} M$$ $$\boxed{F = L S \rho a}$$