| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $11.1.5^*.$ Отрицательные ионы водорода $H^−$ влетают после ускорения их электрическим полем в поперечное магнитное поле индукции $40 \,Тл$. Оцените, при какой разности потенциалов, ускоряющей эти ионы, они еще не разрушаются магнитным полем. Энергия связи внешнего электрона в отрицательном ионе водорода $0.72 \,эВ \approx 10^{−19} \,Дж$. | | $11.1.5^*.$ Отрицательные ионы водорода $H^−$ влетают после ускорения их электрическим полем в поперечное магнитное поле индукции $40 \,Тл$. Оцените, при какой разности потенциалов, ускоряющей эти ионы, они еще не разрушаются магнитным полем. Энергия связи внешнего электрона в отрицательном ионе водорода $0.72 \,эВ \approx 10^{−19} \,Дж$. |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
| Ионы начнут разрушаться, когда сила Лоренца станет больше силы связи | | Ионы начнут разрушаться, когда сила Лоренца станет больше силы связи |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_\text{lorentz} \geq F_\text{connection} \quad(1) | | F_\text{lorentz} \geq F_\text{connection} \quad(1) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Так как частицей является отрицательный ион водорода $H^−$, то заряд будет равняться заряду электрона $(q=e)$ при этом сила Лоренца, действующая на частицу массой $m$ в магнитном поле индукции $\vec{B}$ составит | | Так как частицей является отрицательный ион водорода $H^−$, то заряд будет равняться заряду электрона $(q=e)$ при этом сила Лоренца, действующая на частицу массой $m$ в магнитном поле индукции $\vec{B}$ составит |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_\text{lorentz} = eBv\quad(2) | | F_\text{lorentz} = eBv\quad(2) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| Из условия, энергия связи внешнего электрона в отрицательном ионе водорода составляет | | Из условия, энергия связи внешнего электрона в отрицательном ионе водорода составляет |
| $$ | | $$ |
| A_\text{total}=0.72 \,эВ \quad(3) | | A_\text{total}=0.72 \,эВ \quad(3) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| При этом потенциальная энергия взаимодействия электрона с протоном (ядром водорода) имеет вид: | | При этом потенциальная энергия взаимодействия электрона с протоном (ядром водорода) имеет вид: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U_\text{potential}(r) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r},\quad(4) | | U_\text{potential}(r) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r},\quad(4) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Полная энергия электрона в связном состоянии может быть выражена через радиус в первой боровской модели как: | | Полная энергия электрона в связном состоянии может быть выражена через радиус в первой боровской модели как: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| A_\text{total} = -\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}. \quad(5) | | A_\text{total} = -\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}. \quad(5) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Здесь важно отметить коэффициент \(1/2\), который появляется в результате квантово-механического решения задачи для атома водорода (в основном состоянии суммарная энергия равна половине потенциальной, но с отрицательным знаком). | | Здесь важно отметить коэффициент \(1/2\), который появляется в результате квантово-механического решения задачи для атома водорода (в основном состоянии суммарная энергия равна половине потенциальной, но с отрицательным знаком). |
| | | |
| Из полученного уравнения $(5)$, выражаем $r$ по модулю | | Из полученного уравнения $(5)$, выражаем $r$ по модулю |
| | | |
| $$ | | $$ |
| r = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 A_\text{total}}\quad(6) | | r = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 A_\text{total}}\quad(6) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Сила, с которой ядро действует на электрон (кулоновская сила), определяется выражением: | | Сила, с которой ядро действует на электрон (кулоновская сила), определяется выражением: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_\text{connection} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.\quad(7) | | F_\text{connection} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.\quad(7) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставляя в $(7)$ характерный радиус взаимодействия $r$, полученный в $(6)$, получаем кулоновскую силу | | Подставляя в $(7)$ характерный радиус взаимодействия $r$, полученный в $(6)$, получаем кулоновскую силу |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_\text{connection} = \frac{16\pi\varepsilon_0 }{e^2}\cdot A_\text{total}^2\quad(8) | | F_\text{connection} = \frac{16\pi\varepsilon_0 }{e^2}\cdot A_\text{total}^2\quad(8) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Рассмотрим граничный случай, описанный неравенством $(1)$, приравняв уравнение силы Лоренца $(2)$ и кулоновскую силу $(8)$: | | Рассмотрим граничный случай, описанный неравенством $(1)$, приравняв уравнение силы Лоренца $(2)$ и кулоновскую силу $(8)$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| eBv=\frac{16\pi\varepsilon_0 }{e^2}\cdot A_\text{total}^2\quad(9) | | eBv=\frac{16\pi\varepsilon_0 }{e^2}\cdot A_\text{total}^2\quad(9) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Откуда, скорость иона в данный момент времени составляет | | Откуда, скорость иона в данный момент времени составляет |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v=\frac{16\pi\varepsilon_0 }{e^3B}\cdot A_\text{total}^2\quad(10) | | v=\frac{16\pi\varepsilon_0 }{e^3B}\cdot A_\text{total}^2\quad(10) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Перед тем как зайти в магнитное поле, частица ускорявлась в электрическом поле с разностью потенциалов $\Delta\varphi$ и в момент входа в поперечное магнитное поле имела энергию, равную кинетической энергии иона | | Перед тем как зайти в магнитное поле, частица ускорявлась в электрическом поле с разностью потенциалов $\Delta\varphi$ и в момент входа в поперечное магнитное поле имела энергию, равную кинетической энергии иона |
| | | |
| $$ | | $$ |
| E_\text{kinetic} = e\cdot\Delta\varphi = \frac{mv^2}{2}\quad(11) | | E_\text{kinetic} = e\cdot\Delta\varphi = \frac{mv^2}{2}\quad(11) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Откуда, выражаем критическую разность потенциалов электрического поля | | Откуда, выражаем критическую разность потенциалов электрического поля |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \Delta\varphi=\frac{mv^2}{2e}\quad(12) | | \Delta\varphi=\frac{mv^2}{2e}\quad(12) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставляя выражение скорости иона из $(10)$, получаем необходимые значения для разности потенциалов | | Подставляя выражение скорости иона из $(10)$, получаем необходимые значения для разности потенциалов |
| | | |
