Решение

Второй закон Ньютона в импульсной форме

$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}\quad(1)$$

Учитывая начальный импульс $(p_0 = m\omega R)$, находим время, через которой обруч остановится

$$t = \frac{m\omega R}{\mu mg} = \frac{\omega R}{\mu g}\quad(2)$$

Количество полных оборотов, сделанных обручем до периода полной остановки

$$n = \frac{\Delta \varphi}{2\pi} = \frac{\omega t}{4\pi} \quad(3)$$

Подставляем время остановки $t$ из $(2)$:

$$n = \frac{\omega^2R}{4\pi\mu g}\quad(4)$$