Решение

Момент силы трения найдём через второй закон Ньютона для вращательной динамики $(M = J \beta)$:

$$M = \frac{J \omega}{t} = \frac{m \omega R^2}{t} \quad(1)$$

Т.к. маховик до полной остановки сделает $N$ полных оборотов, то он повернётся на угол

$$\alpha = 2\pi N\quad(2)$$

Внешняя сила (сила трения) является постоянной, тогда угловое ускорение также будет оставаться постоянным и полностью остановится, повернувшись на угол $\alpha$

$$\alpha = 2\pi N = \frac{\omega^2}{2\beta}\quad(3)$$

Откуда угловое ускорение

$$\beta = \frac{\omega^2}{4\pi N}\quad(4)$$

Подставляем угловое ускорение из $(4)$ в выражение для момента силы трения $(M = J \beta)$

$$M = \frac{m\omega^2R^2}{4\pi N}\quad(5)$$