Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #12046 предыдущая #11323 ← раньше позже →
ru/2.4.3.md +29 −3
@@ -1,9 +1,35 @@
### Условие:
−2.4.3*. Пружина жесткости $k$ зажата между двумя телами. После того как оба тела одновременно освободили, они до момента полного распрямления пружины прошли расстояния $x_1$ и $x_2$. Какую кинетическую энергию приобрело каждое из этих тел?
+$2.4.3^*.$ Пружина жесткости $k$ зажата между двумя телами. После того как оба тела одновременно освободили, они до момента полного распрямления пружины прошли расстояния $x_1$ и $x_2$. Какую кинетическую энергию приобрело каждое из этих тел?
### Решение:
−Если плоскость гладкая и трения нет, то в этом случае центр масс системы не изменит своего положения, а значит $m_1x_1 = m_2x_2$. (1) Импульс системы не изменится, следовательно: $m_1v_1 = m_2v_2$. (2) Запишем закон сохранения энергии $\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)^2}{2}$. (3) Из (1) и (2) находим $m_2 = \frac{x_1}{x_2}m_1$; $v_2 = \frac{x_2}{x_1}v_1$. (4) Теперь подставляем (4) в (3) и получаем для первого тела $\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2}$. Для второго тела $\frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}$.
+Если плоскость гладкая и трения нет, центр масс системы сохраняет своё положение
−### Ответ: $\fbox{$E_1 = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2}$, $E_2 = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}$}$
+$$m_1x_1 = m_2x_2 \quad(1)$$
+
+Кроме того, выполняется закон сохранения импульса:
+
+$$m_1v_1 = m_2v_2 \quad(2)$$
+
+Энергия, накопленная в сжатой пружине, полностью переходит в кинетическую энергию тел:
+
+$$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)^2}{2} \quad(3)$$
+
+Из уравнения центра масс $(1)$ выразим массу $m_2$:
+
+$$m_2 = \frac{x_1}{x_2}m_1;\quad(4)$$
+
+Из закона сохранения импульса \((2)\) выразим скорость \( v_2 \) через \( v_1 \):
+
+$$v_2 = \frac{x_2}{x_1}v_1. \quad(5)$$
+
+Подставим \( m_2 \) и \( v_2 \) из \((4)\) и \((5)\) в уравнение \((3)\). Рассмотрим сначала вклад первого тела:
+
+$$\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2}.\quad(6)$$
+
+Для второго тела подставим \( m_2 \) и \( v_2 \):
+
+$$\frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}.\quad(7)$$
+
+#### Ответ: $E_1 = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2},~E_2 = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}$