Решение

Запишем закон сохранения импульса:

$$km\vec{u} = km\vec{v_2} + m\vec{v_1}.$$

В проекции на ось $Ox$:

$$kmu = kmu_2 + mv_1,$$

Разделим на $m$, чтобы упростить уравнение:

$$ku = kv_2 + v_1.\quad(1)$$

Для упругого удара выполняется закон сохранения кинетической энергии:

$$\frac{kmu^2}{2} = \frac{kmv_2^2}{2} + \frac{mv_1^2}{2},$$

Аналогично, разделим на $m/2$:

$$ku^2 = kv_2^2 + v_1^2. \quad(2)$$

Перепишем уравнения $(1)$ и $(2)$

Из уравнения $(1)$ выразим $v_1$ через $v_2$

$$v_1 = k(u – v_2)$$

Алалогично, из уравнения $(1)$ выразим $v_1^2$

$$v_1^2 = k(u^2 – v_2^2)$$

Разделив левые и правые части уравнений соответственно, получим

$$u + v_2 = v_1.\quad(3)$$

Сделаем замену найденной скорости $v_1$ в уравнение $(1)$

$$ku = kv_2 + u + v_2,$$

откуда

$$v_2 = \frac{u(k - 1)}{k + 1}.\quad(4)$$

Если теперь подставить найденную скорость $v_2$ из $(4)$ в уравнение $(3)$, то

$$v_1 = \frac{2ku}{k + 1}. \quad(5)$$

Найдем отношение скоростей $v_1$ и $v_2$ к $u$

$$\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1},$$

$$\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}. \quad (*)$$

Для построения графика зависимости отношения скоростей от $k$, надо в формулы $(*)$ вместо $k$ подставить значения, например $\frac{1}{2}, 1, 2, 3, \infty$. Тогда графики будут иметь вид, представленный на рисунке.