2.6.21 | правка #12109 | Решения Савченко

Условие

2.6.21. а. Каков радиус орбиты спутника, лежащей в экваториальной плоскости, если тот все время находится в зените над одной и той же точкой земной поверхности?
б. Опишите качественно трассу спутника, если при том же радиусе орбиты ее плоскость образует угол $60^{\circ}$ с плоскостью экватора. (Трассой спутника называется линия, соединяющая точки на Земле, из которых спутник виден в зените.)

Решение

Уравнение движения спутника из условия равновесия центростремительной силы и силы гравитации:

$\frac{mv^2}{R} = G \frac{mM}{R^2}$

Упрощаем

$v^2 = G \frac{M}{R}$

Выражая орбитальную скорость $$v$$ через угловую скорость $\omega = \frac{2\pi}{T}$ и радиус орбиты $$R$$ , получаем:

$\frac{4\pi R^2}{T^2} = G \frac{M}{R}$

Отсюда выражаем радиус орбиты $$R$$ :

$км$$R^3 = \frac{GMT^2}{4\pi^2}\approx42\cdot10^{3} \mathrm{~км.}$$$

Ответ

а. $км$R\approx42\cdot10^{3} \mathrm{~км.}$$

б. «Восьмерка», «касающаяся» 60-х параллелей с точкой пересечения на экваторе