| @@ -1,19 +1,42 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $2.6.33^*.$ В фантастическом рассказе описывается, как из-за небольшой ошибки в выборе начальной скорости при старте с поверхности Земли межпланетный корабль падает на Солнце. При какой наименьшей скорости на поверхности Земли это возможно? |
| $2.6.33^*.$ В фантастическом рассказе описывается, как из-за небольшой ошибки в выборе начальной скорости при старте с поверхности Земли межпланетный корабль падает на Солнце. При какой наименьшей скорости на поверхности Земли это возможно? |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| Как только мы выбрасываем объект в космос, начинают действовать законы орбитальной механики. В частности, объект попадает на эллиптическую траекторию вокруг Солнца. Оптимальный способ достичь Солнца — придать объекту скорость, направленную против движения Земли по орбите (ретроградную). Некоторые решения предполагают крайний случай, когда объекту придают скорость, равную орбитальной скорости Земли, но в противоположном направлении. В этом случае объект устремится прямо к Солнцу. Однако идти на такие крайности не требуется. |
| |
| |
|  |
| Скорость объекта в любой точке орбиты определяется уравнением: |
| |
| |
| Корабль будет двигаться по дуге вытянутого элипса, в одном из фокусов, которого будет Солнце. Чтобы корабль "упал", необходимо чтобы он имел I космическую скорость для Солнца. |
| \[ v = \sqrt{\mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)} \] |
| |
| |
| Записываем закон сохранения, на поверхности Земли |
| где: |
| |
| - \( r \) — расстояние от центра Солнца; |
| |
| - \( a \) — большая полуось орбиты, равная половине "поперечного сечения" эллиптической орбиты. |
| |
| |
| $$ |
| В данном случае орбита должна быть такой, чтобы: |
| v_0^2 |
| - Афелий (наиболее удалённая точка) совпадал с орбитой Земли; |
| $$ |
| - Перигелий (наиболее близкая точка) приходился точно на поверхность Солнца. |
| |
| |
| стал ближе к влиянию силы гравитации Солнца, было предложено запустить его в направлении движения Земли. Необходимо определить, с какой скоростью корабль должен двигаться. |
| Принимаем: |
| |
| - Радиус Солнца \( 695,700 ~ \text{км} \); |
| |
| - Орбитальный радиус Земли \( r \) равен \( 150 ~ \text{млн} ~ \text{км} \). |
| |
| |
| ### Ответ: $v_{мин} = 29 \,км/с$ |
| Таким образом, получаем: |
| |
| |
| |
| \[ a = 150 \times 10^6 - 695,700 \approx 149.3 \times 10^6 ~ \text{км}. \] |
| |
| |
| |
| Требуемая скорость в афелии составляет \( 2.8 ~ \text{км/с} \). Земля движется вокруг Солнца со скоростью около \( 29.8 ~ \text{км/с} \). Следовательно, объект необходимо запустить с минимальной скоростью \( 27 ~ \text{км/с} \) относительно Земли. |
| |
| |
| |
| Кроме того, необходимо преодолеть гравитацию Земли. Если мы придадим объекту ретроградную скорость, Земля начнёт притягивать его обратно, увеличивая кинетическую энергию. Чтобы компенсировать это, объекту требуется дополнительная кинетическая энергия, превышающая потенциальную энергию гравитации. |
| |
| |
| |
| Скорость выхода из гравитационного поля Земли составляет \( 11.2 ~ \text{км/с} \). Поскольку кинетическая энергия растёт пропорционально квадрату скорости, новая скорость запуска \( v_{\text{throw}} \) рассчитывается так: |
| |
| |
| |
| \[ |
| |
| v_{\text{throw}} = \sqrt{11.2^2 + 27^2} = 29.2 ~\text{км/с}. |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| __Примечание:__ Орбита Земли не является строго круговой, поэтому лучше производить запуск в афелии, если вы собираетесь реализовать это на практике. |
| |
| |
| |
| Подробное обсуждение можно найти на [physics.stackexchange.com](https://physics.stackexchange.com/questions/389431/minimal-velocity-to-throw-an-object-to-the-sun) |
| |
| |
| |
| #### Ответ: $v_{\text{min}} = 29 ~\text{км/с}$ |
