2.7.4 | до правки #12131 | Решения Савченко

Условие

2.7.4. Тонкий обруч радиуса $$R$$ раскрутили вокруг его оси до угловой скорости $\omega$ и положили плашмя на горизонтальный стол. Через какое время обруч остановится, если коэффициент трения между столом и обручем равен $\mu$ ? Сколько оборотов сделает обруч до полной остановки?

Решение

Второй закон Ньютона в импульсной форме

$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}\quad(1)$

Учитывая начальный импульс $(p_0 = m\omega R)$ , находим время, через которой обруч остановится

$t = \frac{m\omega R}{\mu mg} = \frac{\omega R}{\mu g}\quad(2)$

Количество полных оборотов, сделанных обручем до периода полной остановки

$n = \frac{\Delta \varphi}{2\pi} = \frac{\omega t}{4\pi} \quad(3)$

Подставляем время остановки $$t$$ из $$(2)$$ :

$n = \frac{\omega^2R}{4\pi\mu g}\quad(4)$

Ответ

$t=\omega R/(\mu g){,}~n=\omega^2R/(4\pi\mu g).$