3.2.19 | до правки #12160 | Решения Савченко

Условие

3.2.19. Метроном представляет собой легкий стержень, на нижнем конце которого на расстоянии $$l$$ от оси находится груз массы $$M$$ . Выше оси подвижный грузик массы $$m$$ можно закреплять на стержне на разных расстояниях $$x$$ от оси, тем самым подбирая нужную частоту колебаний метронома. Считая массы точечными, найдите, как частота колебаний зависит от расстояния $$x$$ .

Решение

При малых отклонениях угол $\varphi$ небольшой ( $\sin\varphi \approx \varphi$ ). На метроном действуют два момента:

Момент силы тяжести груза $$M$$ : $Mgl\sin\varphi \approx Mgl\varphi$ ,
Момент силы тяжести груза $$m$$ : $mgx\sin\varphi \approx mgx\varphi$ .

Результирующий момент:

$I\varepsilon =\sum_{}^{}M\approx\varphi(mgx-Mgl)$

По-теореме Штейнера, для стержня с двумя точечными грузами момент инерции относительно оси:

$$$I=Ml^2+mx^2$$$

Уравнение динамики вращательного движения:

$(Ml^2+mx^2)\ddot{\varphi}+\varphi(Mgl-mgx)=0$

Дифференциальное уравнение колебаний принимает вид:

$\ddot{\varphi}+\frac{Mgl-mgx}{Ml^2+mx^2}\varphi=0$

Частота колебаний $\omega$ :

$\omega =\sqrt{\frac{g(Ml-mx)}{Ml^2+mx^2}}$

Альтернативное решение

Ответ

$\omega =\sqrt{\frac{g(Ml-mx)}{Ml^2+mx^2}}$ .