Решение

Для случая а)

$$\rho = \frac{\rho_0 v_0}{\sqrt{v_0^2 - 2eEx / m_e}},$$

где $x$ — расстояние до передней сетки.

Для случая б)

$$\rho_2 = 2\rho_1$$

При $x < x_0 = m_e v_0^2 / (2eE)$; $\rho = 0$ при $x > x_0$.

По зависимости $\rho_2$ от $x$ находится наибольшая напряжённость поля заряда между сетками:

$$E_1 = \frac{1}{2 \varepsilon_0} \int_0^{x_0} \rho_2 \, dx = \frac{\rho_0 m_e v_0^2}{\varepsilon_0 e E}.$$

Полем заряда пучка можно пренебречь, если $E_1 \ll E$. Когда $E_1$ сравнимо с $E$, т.е.

$$\rho_0 m_e v_0^2 / (\varepsilon_0 e E) \approx E,$$

необходимо его учитывать. Отсюда оценка

$$\rho \approx \varepsilon_0 e E^2 / (m_e v_0^2).$$