Решение

Для упрощения данной задачи автор полагает, что электрон движется по круговой орбите под действием силы Кулона так же, как и планеты вращаются вокруг звёзд под действием гравитации. (Что, естесственно, не так).

Найдём центростремительное ускорение электрона из второго закона Ньютона: $$m_ea_{\text{цс}}=F_K\tag{1}$$ Откуда, найдём центростремительное ускорение $$a_{\text{цс}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{m_e \cdot r^2}\tag{2}$$ Согласно динамике вращательного движения $$\omega^2r=a_{\text{цс}}\tag{3}$$ Приравнивая выражения $(2)$ и $(3)$ $$\omega^2r=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{m_e \cdot r^2}\tag{4}$$ Откуда находим радиус орбиты $$\boxed{r=\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{m_e \cdot \omega^2}\right)^{1/3}}=1.36 \cdot 10^{-10}\text{ м}\tag{5}$$