Решение

Кольцо с зарядом $Q$ создаёт напряжённость, аналогичную точечному заряду:

$$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$$

Тогда сила, действующая на малый участок кольца зарядом

Малый участок кольца ($d\alpha$ - величина дуги участка) имеет заряд, равный

$$dq=\frac{d\alpha}{2\pi}Q$$

испытывает кулоновскую силу:
$$F=E\cdot dq=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dqQ}{r^2}$$

Подставляя $dq$:

$$dq=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\frac{d\alpha}{2\pi}Q^2}{r^2}$$

Таким образом, сила, разрывающая кольцо, пропорциональна $Q^2$ и обратно пропорциональна $r^2$.

а. Прочность кольца прямо пропорциональна максимальной силе, которую оно выдерживает. Условие:

$$F_{\text{нов}} = 10 \cdot F_{\text{стар}}.$$

Поскольку $F \sim Q^2$, получаем:

$$Q_{\text{нов}}^2 = 10 \cdot Q_{\text{стар}}^2 \quad \Rightarrow \quad Q_{\text{нов}} = \sqrt{10} \cdot Q.$$

б. Прочность пропорциональна количеству атомарных связей связей в поперечном сечении кольца (площади поперечного сечения), т.е. квадрату линейных размеров.

$$r=3r_0 \Rightarrow F=3^2F_0=9F_0$$

Одновременно радиус увеличился:

$$r=3r_0$$

Сила на единицу дуги теперь:

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\frac{d\alpha}{2\pi}Q^2}{(3r_0)^2}=9\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\frac{d\alpha}{2\pi}Q_0^2}{r_0^2}$$

Упростим:

$$\frac{Q^2}{9r_0^2}=9\frac{Q_0^2}{r_0^2} \Rightarrow Q=9Q_0$$