Решение

Поскольку в диэлектрике присутствует утечка из-за проводимости, ток через конденсатор выражается как:

Учитывая, что сопротивление слоя проводящей среды между обкладками конденсатора $R = \frac{\rho l}{S} = \frac{1}{\lambda} \cdot \frac{l}{S}$, ток можно записать как:

$$i = \frac{\lambda U S}{l},\tag{1}$$

Емкость сферического конденсатора с радиусами $R_1$ и $R_2$ обкладок равна:

$$C = 4 \pi \varepsilon \varepsilon_0 \cdot \frac{R_1 R_2}{R_1 - R_2}.\tag{2}$$

При $\varepsilon \approx 1$ и $R_1 \approx R_2$, разность радиусов $l = R_1 - R_2$ мала, а радиусы $R_1 \approx R_2 \approx R$. Тогда емкость можно аппроксимировать как:

$$C \approx 4 \pi \varepsilon_0 \cdot \frac{R^2}{l}.\tag{3}$$

Площадь обкладок сферического конденсатора $S$ равна площади сферы:

$$S = 4 \pi R^2.\tag{4}$$

Тогда емкость становится:

$$C \approx \frac{\varepsilon_0 S}{l}.\tag{5}$$

Из закона Джоуля — Ленца, количество теплоты, выделяющееся за единицу времени

$$Q = i U.\tag{6}$$

Подставляя выражение для тока $(1)$, получим:

$$Q = \frac{\lambda U^2 S}{l}.\tag{7}$$

Площадь обкладок сферического конденсатора $S$ выразим из уравнения $(5)$ и получим искомое количество теплоты, выделяющейся в единицу времени на конденсаторе

$$Q = \frac{\lambda U^2 C}{\varepsilon_0}.\tag{8}$$