Решение

Когда в цепи установится равновесие, напряжение, а значит, и заряд на конденсаторе меняться не будут. То есть увеличение заряда при зарядке будет равно уменьшению заряда при разрядке. При зарядке конденсатора в течение времени $\tau$ напряжение на нем равно

$$U_{C} = U_{0} - I_{з}r,$$

Так как за период заряд на конденсаторе меняется очень мало, то можно считать зарядный ток постоянным и равным

$$I_{з} = \frac{ \Delta q}{ \tau},$$

где $\Delta q$ - изменение заряда. Таким образом,

$$U_{C} = U_{0} - \frac{ \Delta q}{ \tau} r \tag{1}$$

При разрядке конденсатор разряжается через сопротивление $R$ в течение времени $T−\tau$, поэтому $U_{C} = I_{p}R$, где разрядный ток

$$I_{p} = \frac{ \Delta q}{T - \tau}.$$

Следовательно, во время разрядки

$$U_{C} = \frac{ \Delta q }{T - \tau} R \tag{2}$$

Решая совместно $(1)$ и $(2)$, получим

$$U_{C} = U_{0} \frac{R \tau}{(R - r) \tau + rT}$$