1.1.10 | до правки #12461 | Решения Савченко

Условие

1.1.10^∗. По прямому шоссе идет автобус с постоянной скоростью $$v$$ . Вы заметили автобус, когда тот находился в некоторой точке $$A$$ . Из какой области около шоссе вы можете догнать этот автобус, если скорость вашего бега $$u < v$$ ? Нарисуйте эту область для $$u = v/2$$

Решение

В погоне за автобусом

1. Пусть автобус находится в точке $А $А$$ , а догоняющий начинает движение из точки $В $В$$ и бежит перпендикулярно дорожному полотну $А С $АС$$ . Введём обозначения: $А С $АС = L, BC = h, AB = s.$$

Плоскость, ограниченная

\alpha

2. Из прямоугольного треугольника $А В С $АВС$$ имеем

$и$$L = s \cdot \cos\frac{\alpha}{2}\text{ и }h = s \cdot\sin\frac{\alpha}{2}$$$

3. Время движения автобуса $$t_1$$ и пассажира $$t_2$$ до встречи в точке $С $С$$

${t}_{1}=\frac{{L}}{{v}}=\frac{{s}\cos(\alpha /2)}{{v}};\quad{t}_{2}=\frac{{h}}{{u}}=\frac{{s}\sin(\alpha /2)}{{u}}$

откуда

$\fbox{$\alpha = 2 \cdot \arctan \frac{u}{v}$}$

Альтернативное решение

Ответ

Из области, ограниченной углом $\alpha = 2 \,\arcsin (u/v)$ с вершиной в точке $$A$$ , биссектриса которого — шоссе