| @@ -1,44 +1,31 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $2.7.6.$ [Вставьте описание задачи] |
| $2.7.6.$ Тонкостенный цилиндр радиуса $R$ раскрутили до угловой скорости $ω$ и поставили в угол, как показано на рисунке. Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен $µ$. Сколько оборотов цилиндр сделает до полной остановки? |
| |
|  |
| |
| |
| __Пример условия__: |
| #### Решение |
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| Число оборотов найдем по отношению полного угла вращения к углу одного оборота($2π$): |
| |
| $$x=\frac{θ}{2π}$$ |
| |
| Угол вращения можно найти по формуле: |
| |
| $$θ=\frac{ω²}{2ε}$$ |
| |
| Где $ε$ - угловое ускорение, которое можно найти через момент сил: |
| |
| $$Iε=μNR+μnR$$ |
| |
| |
| |
| Что бы найти $N$ и $n$ распишем второй закон Ньютона: |
| |
| $$N=mg-μn$$ |
| |
| $$n=μN$$ |
| |
| Получаем: |
| |
| $$N=\frac{mg}{1+μ²}$$ |
| |
| $$n=\frac{μmg}{1+μ²}$$ |
| |
| |
| ### Решение |
| Момент инерции тонкостенного цилиндра: |
| |
| $$I=mR²$$ |
| |
| |
| [Здесь должно быть ваше решение] |
| Подставим в уравнение момента сил и найдем $ε$: |
| |
| $$ε=\frac{μg(1+μ²)}{2R(1+μ)}$$ |
| __Пример решения__: |
| Найдем угол вращения $θ$: |
| Ускорение тела задано как |
| $$θ=\frac{ω²R(1+μ²)}{2μg(1+μ)}$$ |
| |
| Отсюда: |
| $$a(t) = bt$$ |
| $$\boxed{x=\frac{ω²R(1+μ²)}{4πμg(1+μ)}}$$ |
| |
| |
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| |
| |
| |
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| |
| |
| |
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| |
| |
| |
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| |
| |
| |
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| |
| |
| |
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| |
| |
| |
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| |
| |
| |
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| |
| |
| |
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| |
| |
| |
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| $${x=\frac{ω²R(1+μ²)}{4πμg(1+μ)}}$$ |
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| |
| |
| |
| |
| |
| __Пример ответа__: |
| |
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| |
