Решение

Число оборотов найдем по отношению полного угла вращения к углу одного оборота($2π$):

$$n=\frac{θ}{2π}$$

Угол вращения можно найти по формуле:

$$θ=\frac{ω²}{2ε}$$

Где $ε$ - угловое ускорение, которое можно найти через момент сил:

$$Iε=μN_xR+μN_yR$$

Что бы найти $N_y$ и $N_x$ распишем второй закон Ньютона:

$$N_y=mg-μN_x$$

$$N_x=μN_y$$

Получаем:

$$N_y=\frac{mg}{1+μ²}$$

$$N_x=\frac{μmg}{1+μ²}$$

Момент инерции сплошного цилиндра:

$$I=\frac{mR²}{2}$$

Подставим в уравнение момента сил и найдем $ε$:

$$ε=\frac{2μg(1+μ²)}{R(1+μ)}$$

Найдем угол вращения $θ$:

$$θ=\frac{ω²R(1+μ²)}{4μg(1+μ)}$$

Отсюда:

$$\boxed{x=\frac{ω²R(1+μ²)}{8πμg(1+μ)}}$$