| @@ -1,44 +1,32 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.7.18.$ [Вставьте описание задачи] |
| | − | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | − | |
| | − | |
| | − | ### Решение |
| | − | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | − | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | − | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | − | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | − | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | − | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | − | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | + | $2.7.18.$ На валик радиуса $r$ плотно насажен сплошной диск. Момент инерции |
| | + | этой системы относительно оси $J$, масса $m$. На валик симметрично намотаны |
| | + | две нити, на которых система подвешена к неподвижному штативу. Нити вертикальны. Систему отпускают. Найдите ускорение оси диска и силу натяжения |
| | + | нитей. |
| | + | #### Решение |
| | + | Распишем второй закон Ньютона и момент сил: |
| | + | $$ma=mg-2T$$ |
| | + | $$J\varepsilon=2Tr$$ |
| | + | А так же связь угловой и линейной ускорений: |
| | + | $$a=\varepsilon r$$ |
| | + | С учетом связи ускорений, получаем: |
| | + | $$\frac{Ja}{r}=2Tr$$ |
| | + | Выразим $T$: |
| | + | $$T=\frac{Ja}{2r^2}$$ |
| | + | Подставим полученное выражение в уравнение динамики: |
| | + | $$ma=mg-\frac{Ja}{r^2}$$ |
| | + | Отсюда: |
| | + | $$a=\frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}$$ |
| | + | Или как записано в авторском ответе: |
| | + | $$\boxed{a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}}$$ |
| | + | Подставим полученный ответ в выражение $T$: |
| | + | $$T=\frac{J}{2r^2} \frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}\Rightarrow$$ |
| | + | $$\Rightarrow T=\frac{Jmg}{2(J+mr^2)}$$ |
| | + | Это соответсвует авторскому ответу: |
| | + | $$\boxed{T=\frac{1}{2} \frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}}$$ |
| | + | |
| | | #### Ответ |
| | + | $$a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}$$ |
| | + | $$T=\frac{1}{2} \frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}$$ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
