Решение

Распишем второй закон Ньютона и момент сил:
$$ma=mg-2T$$
$$J\varepsilon=2Tr$$
А так же связь угловой и линейной ускорений:
$$a=\varepsilon r$$
С учетом связи ускорений, получаем:
$$\frac{Ja}{r}=2Tr$$
Выразим $T$:
$$T=\frac{Ja}{2r^2}$$
Подставим полученное выражение в уравнение динамики:
$$ma=mg-\frac{Ja}{r^2}$$
Отсюда:
$$a=\frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}$$
Или как записано в авторском ответе:
$$\boxed{a=\frac{g}{1+\frac{J}{mr^2}}}$$
Подставим полученный ответ в выражение $T$:
$$T=\frac{J}{2r^2} \frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}\Rightarrow$$
$$\Rightarrow T=\frac{Jmg}{2(J+mr^2)}$$
Это соответсвует авторскому ответу:
$$\boxed{T=\frac{1}{2} \frac{mg}{1+\frac{mr^2}{J}}}$$