| @@ -1,44 +1,23 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.6.22.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.6.22.$ Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия небольшого тела массы m с Землей $U = -γMm/r$, где $M$ — масса Земли, $r$ — расстояние |
| | + | от тела до центра Земли. Найдите приращение потенциальной энергии $∆U$ при |
| | + | подъеме тела на высоту $h$ с поверхности Земли. Какая относительная ошибка |
| | + | возникает при использовании приближенного выражения mgh вместо $∆U$? Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g$, радиус Земли $R$. |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | + | #### Решение |
| | + | Для начала найдем приращение потенциальной энергии: |
| | + | $$\Delta U=U-U_0$$ |
| | + | $$U=\frac{-γMm}{R+h}$$ |
| | + | $$U_0=\frac{-γMm}{R}$$ |
| | + | Подставим послдение вда уравнение в первое: |
| | + | $$\Delta U=-\frac{γMm}{R+h}-(-\frac{γMm}{R})\Rightarrow$$ |
| | + | $$\Rightarrow \boxed{\Delta U=\gamma \frac{Mmh}{R(R+h)}}$$ |
| | + | Относительная ошибка находится по отношению разницы приближенного и верного значений к верному значению, то есть: |
| | + | $$\varepsilon=\frac{mgh-\Delta U}{\Delta U}$$ |
| | + | Подставив приращение потенциальной энергии, получим ответ: |
| | + | $$\boxed{\varepsilon=\frac{h}{R}}$$ |
| | | |
| | − | |
| | − | ### Решение |
| | − | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | − | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | − | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | − | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | − | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | − | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | − | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | | #### Ответ |
| | − | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$\Delta U=\gamma \frac{Mmh}{R(R+h)}$$ |
| | + | $$\varepsilon=\frac{h}{R}$$ |
