| @@ -1,44 +1,43 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.6.23.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.6.23.$ Тело запустили вдоль экватора с востока на запад с такой скоростью, что очень далеко от Земли его скорость стала равной нулю. Какую скорость относительно Земли будет иметь вдали от нее тело, запущенное с той же |
| | + | начальной скоростью вдоль экватора, но с запада на восток? |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | + | #### Решение |
| | + | Разница двух случаев в том, что из-за вращения Земли относительная скорость в первом случае выше чем во втором. |
| | | |
| | + | Вдали от Земли потенциальная энергия равна нулю в обеих случаях. Запишем закон сохранения энергии двух ситуациях с учетом разной относительной скорости в начале: |
| | + | $$\frac{m(v_0-u)^2}{2}-\frac{GMm}{r}=0$$ |
| | + | $$\frac{m(v_0+u)^2}{2}-\frac{GMm}{r}=\frac{mv^2}{2}$$ |
| | + | Где $v_0$ - начальная скорость тела; |
| | | |
| | − | ### Решение |
| | + | $v$ - конечная скорость тела; |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | + | $u$ - линейная скорость вращения точки на экваторе. |
| | | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | + | Можно вместо потенцальной энергии во втором уравнении подставить отрицательное значение кинетической энергии в первом случае, если учитывать первое уравнение, то есть: |
| | + | $$\frac{m(v_0+u)^2}{2}-\frac{m(v_0-u)^2}{2}=\frac{mv^2}{2}$$ |
| | + | Сократим массу и двойки, после чего используем формулу сокращенного умножения: |
| | + | $$(v_0+u+v_0-u)(v_0+u-v_0+u)=v^2\Rightarrow$$ |
| | + | $$\Rightarrow 4v_0u=v^2$$ |
| | + | Выразим $v_0$ и подставим в первое уравнение, сократив массу $m$: |
| | + | $$\frac{(\frac{v^2}{4u}-u)^2}{2}-\frac{GMm}{r}=0$$ |
| | + | Выразим $v$: |
| | + | $$v=2\sqrt{u(\sqrt{\frac{2GM}{r}}+u)}$$ |
| | + | Возьмем табличные данные: |
| | | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | + | $r=6370*10^3м$ |
| | | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | + | M=5.98*10<sup>24 $кг$ |
| | | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | + | G=6.67*10<sup>-11$ \frac{Н*м^2}{кг^2}$ |
| | | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | + | $\pi=3.14$ |
| | | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | + | Период обращения Земли вокруг своей оси $T=24ч$ |
| | | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | + | Итог: |
| | + | $$\boxed{v=4.6км/с}$$ |
| | | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | − | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | | #### Ответ |
| | − | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$v=4.6\frac{км}{с}$$ |
