Решение

Запишем закон сохранения момента импульса:
$$I\omega-m_2ur=0$$
Скорость $u$ это скорость в абсолютной системе отсчета, запишем уравнение скорости относительно диска:
$$v=u+\omega r$$
Выведем отсюда скорость $u$:
$$u=v-\omega r$$
Момент инерции диска находится по следующей формуле:
$$I=\frac{m_1R^2}{2}$$
Подставим:
$$\frac{m_1R^2}{2}\omega=m_2(v-\omega r)r$$
Решаем:
$$m_1\omega R^2=2m_2vr-2m_2\omega r^2 \Rightarrow$$
$$\Rightarrow\omega(m_1R^2+2m_2r^2)=2m_2vr$$
Отсюда получаем ответ:
$$\boxed{\omega=\frac{2m_2vr}{m_1R^2+2m_2r^2}}$$