| @@ -1,44 +1,41 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $4.3.12.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $4.3.12.$ |
| | + | Вода вытекает из широкого сосуда через треугольный вырез в его |
| | + | стенке. Во сколько раз уменьшится скорость понижения уровня воды при изменении высоты ее уровня от H до h? |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | | |
| | − | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | + | Конечно, можно сказать, что "Струи будут подобны. Все размеры струи при понижении уровня воды уменьшатся в $\frac H h$ раз, скорость подобных участков в струе уменьшится в $\sqrt H/h$ раз. Поэтому скорость |
| | + | понижения уровня уменьшится в $(H/h)^ \frac 5 2$ раз", но гораздо интереснее узнать, как зависит объем вытекающий в единицу времени от высоты. |
| | | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | + | По формуле Торричелли: |
| | | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | + | $$ v = \sqrt {2gh}$$ |
| | | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | + | В нашем случае так как высоту мы будем отсчитывать от земли: |
| | | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | + | $$ v = \sqrt {2g(H-h)}$$ |
| | | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | + | Разобьем Большой треугольник на бесконечно маленькие прямоугольники, обозначим основание треугольника за $a$: |
| | | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | + | $$S_i = \frac {ah}H dh$$ |
| | | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | + | Поток жидкости через эту площадь: |
| | | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | + | $$q_i = v(h)S_i$$ |
| | | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | + | $$Q_H = \int_{0}^{H} v(h) \frac {ah}H\,dh = \int_{0}^{H} \frac {ah}H \sqrt{2g(H-h)}\,dh = \frac 4 {15} a H \sqrt{2gH} $$ |
| | | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | + | $$a_h = a \frac h H$$ |
| | | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | + | $$Q_h = \frac4 {15} \sqrt{2gh} h^2 \frac a H$$ |
| | | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | + | $$ n= \frac {Q_H} {Q_h} = (H/h)^ \frac 5 2$$ |
| | | |
| | − | #### Ответ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | | |
| | + | #### Ответ |
| | | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$(H/h)^ \frac 5 2$$ |
