| @@ -1,27 +1,43 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $2.7.35.$ На краю свободно вращающегося с угловой скоростью $ω$ вокруг вертикальной оси диска, имеющего радиус $R$ и момент инерции $J$, стоит человек |
| $2.7.35.$ На краю свободно вращающегося с угловой скоростью $ω$ вокруг вертикальной оси диска, имеющего радиус $R$ и момент инерции $J$, стоит человек массы $m$. Как изменится угловая скорость вращения диска, если человек перейдет от края диска к центру? Как изменится кинетическая энергия системы при этом? Размерами человека по сравнению с размерами диска пренебречь. |
| массы $m$. Как изменится угловая скорость вращения диска, если человек перейдет от края диска к центру? Как изменится кинетическая энергия системы при |
| |
| этом? Размерами человека по сравнению с размерами диска пренебречь. |
| |
| |
| |
| #### Решение |
| #### Решение |
| |
| |
| Запишем закон сохранения момента импульса: |
| Запишем закон сохранения момента импульса: |
| |
| |
| $$(J+mR^2)\omega=J\omega'$$ |
| $$(J+mR^2)\omega=J\omega'$$ |
| |
| |
| Отсюда видно, что с уменьшением момента инерции угловая скорость растет, то есть, если мы ищем изменение угловой скорости, мы можем переписать уравнение в следущем виде: |
| Отсюда видно, что с уменьшением момента инерции угловая скорость растет, то есть, если мы ищем изменение угловой скорости, мы можем переписать уравнение в следущем виде: |
| |
| |
| $$(J+mR^2)\omega=J(\omega+\Delta\omega)$$ |
| $$(J+mR^2)\omega=J(\omega+\Delta\omega)$$ |
| |
| |
| Сокращаем что можем: |
| Сокращаем что можем: |
| |
| |
| $$mR^2\omega=J\Delta\omega$$ |
| $$mR^2\omega=J\Delta\omega$$ |
| |
| |
| Получаем ответ: |
| Получаем ответ: |
| |
| |
| $$\boxed{\Delta\omega=\frac{m\omega R^2}{J}}$$ |
| $$\boxed{\Delta\omega=\frac{m\omega R^2}{J}}$$ |
| |
| |
| Найдем кинетическую энергию для начального и конечного моментов: |
| Найдем кинетическую энергию для начального и конечного моментов: |
| |
| |
| $$K_0=\frac{(J+mR^2)\omega^2}{2}$$ |
| $$K_0=\frac{(J+mR^2)\omega^2}{2}$$ |
| |
| |
| $$K=\frac{J(\omega+\Delta\omega)^2}{2}$$ |
| $$K=\frac{J(\omega+\Delta\omega)^2}{2}$$ |
| |
| |
| Зная изменение угловой скорости, можем переписать уравнение в этом виде: |
| Зная изменение угловой скорости, можем переписать уравнение в этом виде: |
| |
| |
| $$K=\frac{(J+mR^2)^2\omega^2}{2J}$$ |
| $$K=\frac{(J+mR^2)^2\omega^2}{2J}$$ |
| |
| |
| Найдем отношение между энергиями системы в начале и в конце: |
| Найдем отношение между энергиями системы в начале и в конце: |
| |
| |
| $$\boxed{\frac{K}{K_0}=1+\frac{mR^2}{J}}$$ |
| $$\boxed{\frac{K}{K_0}=1+\frac{mR^2}{J}}$$ |
| |
| |
| Ответ больше $1$, то есть кинетическая энергия системы возрастает. |
| Ответ больше $1$, то есть кинетическая энергия системы возрастает. |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| |
| $$\Delta\omega=\frac{m\omega R^2}{J}$$ |
| $$\Delta\omega=\frac{m\omega R^2}{J}$$ |
| |
| |
| $$\frac{K}{K_0}=1+\frac{mR^2}{J}$$ |
| $$\frac{K}{K_0}=1+\frac{mR^2}{J}$$ |
