Решение

Запишем закон сохранения энергии:
$$\frac{mgl}{2}=\frac{I\omega^2}{2}$$
Момент инерции стержня относительно одного из концов можно получить из инетграла:
$$\int{x^2dm}$$
Где приращение массы имеет линейный вид:
$$dm=\rho dx$$
Получаем простой инеграл с константой за знаком интеграла:
$$\rho\int{x^2dx}$$
Интегрируем в пределах от $0$ до $l$
$$\rho\frac{l^3}{3}$$
Если стержнь однородный, то момент инерции выглядит так:
$$I=\frac{ml^2}{3}$$
Связь угловой и линейной скоростей:
$$v=\omega l$$
Подставим:
$$\frac{mgl}{2}=\frac{ml^2}{3}\frac{\omega^2}{2}$$
$$gl=\frac{v^2}{3}$$
Получаем ответ:
$$\boxed{v=\sqrt{3gl}}$$