| @@ -1,44 +1,35 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $2.7.43.$ [Вставьте описание задачи] |
| $2.7.43.$ Каким местом при фехтовании палками нужно ударять их друг о |
| |
| друга, чтобы не чувствовать отдачи? Палку держат одной рукой за ее конец. |
| |
| |
| __Пример условия__: |
| #### Решение |
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| В данной задаче используется два оснновных условия, для минимальной отдачи. Одна из них, это сохранение линейной скорости точек, за пределом точки удара, условно возьмем точку на свободном конце палки: |
| |
| $$v_o=v$$ |
| |
| $$\omega_0l=\omega (l-x)$$ |
| |
| Где $x$ - расстояние от руки до точки удара. |
| |
| |
| |
| Найдем отношение угловых скоростей до и после удара: |
| |
| $$\frac{\omega_0}{\omega}=\frac{l-x}{l}$$ |
| |
| Второе условие для минимальной отдачи это сохранение момента импульса системы: |
| |
| $$I_0\omega_0=I\omega$$ |
| |
| Разный момент инерции обусловлен новой точкой вращения. |
| |
| |
| ### Решение |
| Подставим отношение скоростей: |
| |
| $$\frac{I_0(l-x)}{l}=I$$ |
| [Здесь должно быть ваше решение] |
| Момент инерции палки относительно одного из его концов(которуб держит рука): |
| |
| $$I_0=\frac{ml^2}{3}$$ |
| __Пример решения__: |
| Новый момент инерции в момент удара, по теореме Штейнера: |
| Ускорение тела задано как |
| $$I=\frac{ml^2}{12}+m(x-\frac{l}{2})^2\Rightarrow$$ |
| |
| $$\Rightarrow I=\frac{ml^2}{3}-mxl+mx^2$$ |
| $$a(t) = bt$$ |
| Подставим их в закон сохранения момента импульса: |
| |
| $$\frac{ml^2}{3}\frac{l-x}{l}=\frac{ml^2}{3}-mxl+mx^2$$ |
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| Сократим массу: |
| |
| $$\frac{l^2-lx}{3}=\frac{l^2}{3}-lx+x^2$$ |
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| Решаем уравнение: |
| |
| $$\frac{2lx}{3}=x^2$$ |
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| Получаем ответ: |
| |
| $$\boxed{x=\frac{2l}{3}}$$ |
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| |
| |
| |
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| |
| |
| |
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| |
| |
| |
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| |
| |
| |
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| |
| |
| |
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| |
| |
| |
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| При таком расстоянии от руки, отдача будет минимальна, то есть ее не будет. |
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| $$x=\frac{2l}{3}$$ |
| |
| |
| |
| |
| __Пример ответа__: |
| |
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| |
